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Un problème problématique
Bonjour, bonsoir,
Il se trouve que mon professeur de mathématiques m'a proposé un défi : une liste de 10 problèmes, assez ténus.
J'ai en ai heureusement résolu 9. Mais le dernier, le dernier...
Soit un triangle ABC rectangle en C.
On pose AC = b; CB= a; AB=c
En sachant que a<b<c, et que a + c =49, déterminer l'aire de ABC
Si vous avez besoin d'un schéma, je m'empresserai de le rajouter..
Ce problème me prends plus de temps que tous les autres réunis, et les pistes qui me viennent se rapprochent plus du niveau classe préparatoire que de mon humble niveau de 1ere S. Ce n'est en plus pas l'esprit du défi d'avoir à utiliser de telles notions.
La solution doit être sous mes yeux et je ne la vois pas...
Quoiqu'il en soit, je suis sûr que des matheux de votre trempe ne feront qu'une bouchée de "cette petite chose". :p
Je vous remercie d'avance pour votre aide généreuse.
PS: Je signalerai évidemment qu'on m'a aidé à trouver la solution de ce problème.
Bonjour
la question est absurde car l'aire de ABC est quelconque entre 0 et un certain maximum.
on peut poser a = la variable définissant complètement le triangle
en effet alors c = 49 -a
et b² = c² - a² donne b "en fonction de a"
le triangle est ainsi parfaitement défini par la seule donnée de a
ceci permet de calculer son aire en fonction de a
ou plus précisément (pour éviter des affreuses racines carrés) le carré de l'aire en fonction de a
étudier alors cette fonction permettra de trouver la valeur maximale de l'aire
à toi.
Bonjour ,
je pense que le problème est à chercher uniquement avec des entiers naturels.
je propose AireABC =210 et je laisse chercher les autres...
une petite simulation Géogebra peut aussi être intéressante :
sur un segment AD fixe, on déplace un point B variable
le cercle de centre B de rayon a = BD (variable donc) coupe le cercle de diamètre [AB] (variable aussi) en le point C formant un triangle rectangle (variable) satisfaisant aux conditions de l'énoncé.
en déplaçant B on peut alors observer et conjecturer les variations, de l'aire (ou de son carré) en fonction de a
permettant de vérifier ce qui est obtenu par le calcul
Mmm je vois ce que tu veux dire @barney, il est vrai que j'avais oublié de préciser que a,b,c N, mea culpa.
Cela dit, je n'ai jamais appris une " méthode de recherche" de nombres entiers, si tu pouvais être plus explicite ^^.
J'ai déjà utilisé la fonction de l'aire, @mathafou, et vérifié graphiquement qu'il y a plusieurs nombres entiers qui vérifie l'équation.
Il m'est venu à l'idée de tous les soustraires à 49 jusqu'à ce que j'obtienne un résultat entier ? Cette méthode "par tâtonnement" me paraît pas très élégante, et une vérification graphique n'est pas très rigoureuse...
"avec des entiers naturels"
rien n'est dit dans l'énoncé ...
ni que l'aire, ni que les côtés seraient entiers.
pourquoi pas ...
ce que j'ai dit (donne b "en fonction de a") donne la liste des valeurs entières possibles pour b ...
(et donc les solutions possibles pour lesquelles tout ça est des nombres entiers)
en tout cas il manque une condition explicite dans l'énoncé :
valeur maximale de l'aire
ou bien tout en nombres entiers
ou bien l'aire seulement en nombres entiers
ou bien etc
je te répondrai juste, pour l'instant,
que je ne suis parti QUE sur la piste des entiers naturels,
je me suis servi de Pythagore, des identités remarquables,
de la divisibilité, de la parité, des encadrements,...
ah bein si, l'énoncé a été complété entre temps ... grrr
en tout cas ce que j'ai dit donne des pistes pour réduire drastiquement le nombre "d'essais" à faire
encore faut il développer et réduire ... (mon "b en fonction de a")
puis ne pas essayer tous les entiers un par un mais réfléchir ...
il n'y a pas tant de carrés que ça qui sont inférieurs à 49 !!
et la vérification graphique est juste pour vérifier que on ne s'est pas trompé dans ses calculs , rien de plus.
Bonjour.
Tout le monde a raison : le problème a une infinité de solutions, sauf si on veut que a, b et c soient entiers.
De façon générale, on trouve facilement que a = 49-c et b = 
(98a-2401)
Puis la surface qui vaut ab/2
La condition : a+c=49 conduit à : a
24,5
La condition a<b conduit à : a<98-(98²-4802)
Si on veut des valeurs entières, on a (a=20, b=21, c=29) et (a=12, b=35, c=37).
On a aussi la solution triviale : a=0, b=49, c=49...
A +
b² = 49(49-2a) = 7²(7²-2a) donne que b est multiple de 7 et que 49 - 2a doit être un carré parfait
d'où ma dernière remarque
que 49-2a ne peut être que 25 ou 9 ou 1
à cause de la parité de 2a, 49-2a = 36, 16 et 4 sont immédiatement éliminés
Eh bien tout d'abord, merci à tous pour votre aide !
Une dernière chose @thierry45mada, un truc m'échappe : tu as trouvé comment les triplets de solutions ?
Assez bêtement, en fait : j'ai cherché les valeurs entières de a qui conduisaient à des valeurs entières pour b...
A +
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