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un problème sur des lampes : exo de spé math (nombre premier)

Posté par robalro (invité) 20-10-04 à 17:10

bonjour. Je recontre un problème concernant cet exercice. Pouriez vous m'aider? Voici l'énoncé:

On considère 1000 lampes numérotées de 1 à 1000 qui peuvent être allumées ou éteintes. Une lampe change d'état lorsque d'éteinte elle devient allumée ou encore lorsque d'allumée elle devient éteinte (logique).
Au départ, toutes les lampes sont éteintes. On effectue l'une après l'autre 1000 manipulations selon la règle suivante :

manip 1 :seule les lampes dont le numéro est multiple de 1 changent d'état (donc toutes).
manip 2 : seules les lampes dont le numéro est multiple de 2 changent détat.
manip 3 : numéro multiple de 3...
...jusqu'a la manip 1000.

on demande les numéros des lampes allumées à la fin de cette histoire.

J'ai fait sur 10 lampes et je trouve :
lampes 1,4,et 9 allumés.
lampes 2,3,5,6,7,et 10 éteintes.
Le problèmes c'est qu'il faut faire sur 1000 lampes!

Posté par robalro (invité)un problème sur des lampes : exo de spé math 20-10-04 à 19:29

personne veut m'aider ou quoi ?
J'ai vraiment besoin de vous.
Me lacher pas.

Posté par re : un problème sur des lampes : exo de spé math (nombre premie 21-10-04 à 13:34

La lampe 1 change en 1 et puis plus jamais -> à la fin la lampe 1 sera allumée.
La lampe 2 change en 1 et en 2 et puis plus jamais -> à la fin la lampe 2 sera éteinte.
La lampe 3 change en 1 et en 3 et puis plus jamais -> à la fin la lampe 3 sera éteinte.
La lampe 4 change en 1 et en 2 et en 4 et puis plus jamais -> à la fin la lampe 4 sera allumée.
...

Si je prends la lampe 325 par exemple:
Les diviseurs de 325 sont: 1,5,13,25,65,325
La lampe 325 changera donc 6 fois -> elle sera éteinte à la fin.

Si une lampe a un nombre pair de diviseurs, elle sera éteinte à la fin.
Si une lampe a un nombre impair de diviseurs, elle sera allumée à la fin.
-----
Un programme informatique de 10 lignes, donne un résultat intéressant:

Les nombres qui ont un nombre de diviseurs impairs sont tous les carrés de 1 à 31, soit:
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
...
31² = 961

Les lampes allumées seront donc au nombre de 31 et auront les numéros:
1, 4 , 9, 16 ... 961
-----
Il serait bien que quelqu'un trouve comment démontrer que seuls les carrés parfaits (de 1 à 1000) ont un nombres impairs de diviseurs.

Je pense que j'ai su le faire mais c'est loin.

Posté par robalro (invité)re : un problème sur des lampes : exo de spé math 21-10-04 à 16:39

merci. JP.
"mais ce serait bien que quelqu'un trouve comment démontrer que seuls les carrés parfaits (de 1 à 1000) ont un nombres impairs de diviseurs."

Posté par Voilà la démo (sous réserve qu elle soit bonne

) 21-10-04 à 19:09

Salut ,

Alors, je me lance pour essayer de démontrer qu'un nombre a un nombre impair de diviseurs SSI il s'agit d'un carré parfait :

Alors, ici on remarque que l'on a un "si et seulement si", il faut donc démontrer que si un nombre est un carré parfait, alors il a un nombre impair de diviseurs, ET que si un nombre a un nombre impair de diviseur, qu'il s'agit d'un carré parfait (dans les deux sens quoi ).

Avant de commencer la démo, il faut rappeller que le nombre de diviseurs d'un nombre dont la décomposition en facteurs premiers est de la forme $2$\rm~m~=~\alpha^e\times~\beta^f$ est égal à :
$2$\rm~(e+1)(f+1)$
Pour ceux qui ne comprennent pas pourquoi, certains se rappelleront de la construction d'arbres (comme en probas) pour dénombrer les diviseurs, les autres n'ont qu'à essayer plusieurs exemples pour s'en convaincre .
Le "+1" vient du fait qu'il ne faut pas oublier la puissance 0.

Exemple : $2$\rm~12~=~2^2\times~3^1$ . Ses diviseurs sont donc les suivants :
$2$\rm~2^0\times~3^0~=~1$
$2$\rm~2^0\times~3^1~=~3$

$2$\rm~2^1\times~3^0~=~2$
$2$\rm~2^1\times~3^1~=~6$

$2$\rm~2^2\times~3^0~=~4$
$2$\rm~2^2\times~3^1~=~12$
On voit bien ici que l'on a (2+1)(1+1)=3*2=6 diviseurs pour 12.

Cette propriété est importante car je vais m'en servir pour la démo.

*Un carré parfait a un nombre impair de diviseurs :
Considérons un nombre entier $2$\rm~n$ , dont la décomposition en facteurs premiers soit la suivante :
$2$\rm~n~=~\alpha^a~\times~\beta^b~\times~\gamma^c~~~~~~~~(a,b,c\in\mathbb{N})$

On a donc, en élevant $2$\rm~n$ au carré :
$2$\rm~n^2~=~(\alpha^a~\times~\beta^b~\times~\gamma^c)^2$
$2$\rm~n^2~=~\alpha^{2a}~\times~\beta^{2b}~\times~\gamma^{2c}$

En utilisant la propriété vue plus haut, on en déduit que $2$\rm~n^2$ a :
$2$\rm~(2a+1)(2b+1)(2c+1)~diviseurs$

Or, 2a+1, 2b+1 et 2c+1 sont impairs, et on sait qu'un produit de nombre impairs donne un nombre impairs

Conclu 1: Un carré parfait a un nombre impair de diviseurs.

*Un nombre qui a un nombre impair de diviseurs est un carré parfait :
Considérons un nombre entier $2$\rm~m$ ayant un nombre impair de diviseurs, et dont la décomposition en facteurs premiers soit la suivante :
$2$\rm~m~=~\delta^e~\times~\varphi^f~\times~\lambda^g~~~~~~~~(e,f,g\in\mathbb{N})$

D'après la propriété vue plus haut, le nombre de diviseurs de $2$\rm~m$ est égal à :
$2$\rm~(e+1)(f+1)(g+1)$

Par hypothèse, ce produit est impair.
Or on sait qu'un produit est impair si et seulement si, tous les facteurs sont impairs.
Ainsi, e+1, f+1 et g+1 sont impairs, ce qui implique que e, f et g sont pairs et qu'il existent trois entiers naturels k, k' et k'' tels que :
$2$\rm~e~=~2k$
$2$\rm~f~=~2k'$
$2$\rm~g~=~2k''$

On obtient donc :
$2$\rm~m~=~\delta^{2k}~\times~\varphi^{2k'}~\times~\lambda^{2k''}~~~~~~~~(k,k',k''\in\mathbb{N})$

D'où l'on déduit que :
$2$\rm~\sqrt{m}~=~\sqrt{\delta^{2k}~\times~\varphi^{2k'}~\times~\lambda^{2k''}}~~~~~~~~(k,k',k''\in\mathbb{N})$
$2$\rm~\sqrt{m}~=~\delta^{k}~\times~\varphi^{k'}~\times~\lambda^{k''}~~~~~~~~(k,k',k''\in\mathbb{N})$

Ce qui veut dire que $2$\rm~\sqrt{m}~\in~~\mathbb{N}$ , ce qui implique que $2$\rm~m$ est un carré parfait.

Conclu 2: Un nombre qui a un nombre impair de diviseurs est un carré parfait.

CONCLUSION : Un nombre a un nombre impair de diviseur si et seulement si il s'agit d'un carré parfait.
$3$C.Q.F.D$

Remarque : Pour faciliter la compréhension, j'ai pris des nombres qui avaient une décomposition en facteurs premiers assez restreinte, mais cette démo est valable quelle que soit la longueur de la décomposition en facteur premier d'un nombre .

Voili, voilou .

Dites-moi ce que vous en pensez .

En espérant avoir pu aidé ,

À +

Posté par robalro (invité)Belge-FDLE 22-10-04 à 18:45

merci de ton aide. Et merci à tous les webmasters.
Vous êtes vraiment les meilleurs.
Je pense notament à "JP correcteur" (mon idole).

Posté par re : un problème sur des lampes : exo de spé math (nombre premie 19-09-17 à 19:51

BONJOUR,
J'ai le même problème après 13 ans sur se poste mais avec un professeur qui a changé la question au lieu de 1000 lampes c'est 100 merci de me répondre.

Posté par re : un problème sur des lampes : exo de spé math (nombre premie 19-09-17 à 20:09

Salut,

Qu'il y ait 100 lampes au lieu de 1000 ne change absolument rien à la démo ci-dessus.

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