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un probleme sur la divisibilité , besoin d aide svp
bonjour a tous et a toutes voila mon probleme
soit l'entier n=200
A)
1) determiner l'ensemble des diviseurs positifs de n ( j trouvai 12 )
2) Soit N le nombre des diviseurs de n et P le produit de ces diviseurs. Verifier la relation (1) : n^N = P²
B)
Soit l'entier n = 2^a * 5^b, avec a et b naturels.
1) montrer que le nombre de diviseurs de n est:
N = (a+1)(b+1)
2) Calculer le produit de ces diviseurs.
3) l'egalité (1) est-elle encore vraie?
C)
Détérminer l'entier n, de la forme 2^a * 5^b , sachant que P=20^42
merci beaucoup pour votre aide.
rebonjour ...
ceux ke jaimerai savoir c si le produit P est egale
P= (2^(a+1)-1)^(b+1) * ((5^(b+1)-1)/4)^(a+1)
merci pour votre reponse...
A)
1) les diviseurs sont
1 , 2 , 4 , 5 , 8, 10 , 20, 25 , 40 ,50 , 100 , 200
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2)
N = 12
P = 1*2*4*5*8*10*20*25*40*50*100*200 = 6,4.10^13
n^N = 200^12 = 2^12 * 100^12 = 4096.10^24
P² = (6,4)²*10^26 = 40,96.10^26 = 4096.10^26
On a donc bien n^N = P²
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B)
1)
2 et 5 sont des nombres premiers.
les diviseurs positifs de 2^a sont 1, 2 , 2², 2³ ... 2^a, il y en a donc a+1
les diviseurs positifs de 5^b sont 1, 5 , 5², 5³ ... 5^b, il y en donc b+1
Chaque diviseur de 2^a multiplié par n'importe quel diviseur de 5^b est un diviseur de 2^a et 5^b
-> le nombre de diviseurs de 2^a * 5^b est égal à (a+1)*(b+1)
N = (a+1)(b+1)
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2)
P = 2^(a(a+1)(b+1)/2) * 5^(b(a+1)(b+1)/2)
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3)
P² = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1))
n^N = = (2^a * 5^b)^((a+1)(b+1))
n^N = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1))
On a encore P² = n^N
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C)
P = 20^42
P = 2^42 * 10^42
P = 2^42*2^42*5^42
P = 2^84 * 5^42
P² = 2^168 * 5^84
n^N = 2^(a(a+1)(b+1)) * 5^(b(a+1)(b+1)) = 2^168 * 5^84
a(a+1)(b+1) = 168
b(a+1)(b+1) = 84
->
a = 6 et b = 3
n = 2^6 * 5^3
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Sauf distraction. 
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