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Un quadrilatère bien encadré

Posté par
littleguy
12-03-16 à 13:31

Bonjour,

O est le centre d'un triangle équilatéral ABC de côté a.

M est un point variable du segment [AB] distinct de A,  et tel que  la droite (OM) coupe le segment [BC] en un point N distinct de C.

Un quadrilatère bien encadré
Quelle est la plus petite valeur de a telle que l'aire minimale et l'aire maximale du quadrilatère AMNC soient des nombres entiers ?

A vous.  

Posté par
dpi
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 14:46

Bonjour
Merci  pour la constance de tes énigmes.

La valeur de a qui me parait la bonne est(123/5)

Posté par
rschoon
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 14:49

Bonjour à tous.

Je propose pour a la valeur \sqrt{{24}\sqrt{3}}, ou encore 2^{3/2}\times 3^{3/4}

L'aire minimum du quadrilatère est 9, son aire maximum est 10.

Merci pour l'énigme

Posté par
Nofutur2
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 15:18

Après de nombreux calculs je pense que la valeur à trouver est
a^2=24*3
donc
a=(24*3).
On trouve une aire minimale de S=9 et une aire maximale de S=10.
Mais je suis loin d'être sûr de mon résultat...
En tout cas, merci pour ce voyage dans l'univers trop méconnu de la géométrie..

Posté par
manitoba
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 16:22

Bonjour littleguy,


a=6*V2 /(VV3)

V représente la racine carrée de...

Aire min=9 et aire max=10

Merci pour l'énigme

Posté par
trapangle
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 17:39

J'ai beau relire l'énoncé dans tous les sens, je ne vois pas ce qu'il me manque...
La formule de l'aire d'AMNC que je trouve me donne justement une aire minimale quand A et M sont confondus ou quand N et C sont confondus. Il n'y a pas d'autre minimum.
En supposant que les deux points d'un de ces couples puissent s'approcher aussi près l'un de l'autre qu'une distance tendant à la limite vers 0 (mais c'est tiré par les cheveux), je trouve :

a = 2\sqrt{2}.{3^{3/4}}

Dans ce cas, les aires minimale et maximale valent respectivement 9 et 10.

Posté par
littleguy
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 18:24

Comme l'a bien expliqué trapangle, cette énigme est plus que bancale et je me vois dans l'obligation de l'annuler.

Le résultat que j'attendais est celui donné par rschoon, Nofutur2, manitoba et trapangle, mais ça ne tient pas.

Je vous présente toutes mes excuses.

Posté par
derny
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 18:28

Bonjour
En quelques minutes on trouve a=V(24V3) ce qui fait 9 et 10 pour le min et le max.
En postant je m'aperçois d'un bog informatique qui laisse apparaître les réponses précédentes (qui confortent ma solution).
Mais que c'est-il passé ?

Posté par
derny
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 18:31

Je viens de voir l'explication.
Pas grave;

Posté par
trapangle
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 18:50

Pas grave en effet, et les calculs étaient quand même intéressants, dommage qu'un des deux "distinct de..." ne se soit pas perdu en chemin.

Posté par
geo3
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 19:31

Bonsoir
Je crois que a = 62/(3) =22*33/4
A+

Posté par
geo3
re : Un quadrilatère bien encadré 12-03-16 à 20:00

Bonsoir
Je viens seulement de voir l'annulation
Pas grave .  A celui qui ne fait rien , il ne lui arrive rien.
A+

Posté par
dpi
re : Un quadrilatère bien encadré 13-03-16 à 12:25

Observation

Ma réponse  donnait  au quadrilatère une valeur  de 1
La formule pouvait se simplifier à 2\sqrt[3]{3}.\sqrt{5}/5.
soit  2.03885  pour a -->S=1 .

Le poisson est évité, mais elle est à noter

Posté par
littleguy
re : Un quadrilatère bien encadré 13-03-16 à 13:57

Bonjour dpi

Peux-tu détailler ta démarche, ton résultat, pour obtenir une aire minimale et une aire maximale égales à 1 ?

Posté par
dpi
re : Un quadrilatère bien encadré 13-03-16 à 15:40

Bonjour

La surface S maximale de ce "fameux" quadrilatère est égale au 5/9
de celle du triangle quand MON  est parallèle à AC  .

Je me suis posé la question :pour quelle valeur de a -->S=1.
Si a=1    la hauteur est égale  à   3/2  AO = 3/3
MN=2/3  et la hauteur h du trapèze MNAC =AO/2 =3/6
S =(AC+MN)2 xh soit (1+2/3)/2 x  3/6 =53/36
en faisant la racine de l'inverse on arrive à ma première formule :\sqrt{(12\sqrt{3})/5}.

Si on vérifie cette valeur  de a, on a bien S=1

Posté par
Alexique
re : Un quadrilatère bien encadré 13-03-16 à 16:33

Bonjour,

tout a déjà été dit, j'essaierai juste de détailler tout ça.

J'introduis le repère orthonormé d'origine B et de premier axe (BC) et tous mes calculs sont à considérer dans ce repère. On introduit un paramètre t pour l'abscisse de N(t,0) comprises entre a/2 et a. On a O(a/2,a/23). La droite (ON) d'équation y=  (a/23) / (a/2-t) (x-t) coupe la droite (AB) d'équation y=3x en M(at/(3t-a),3at/(3t-a)). L'aire du triangle ABC vaut a²3/4 et l'aire de BNM vaut 1/2 sin(/3) BNBM. La différence donne l'aire du quadrilatère AMNC soit f(a,t) =3/4(a²-at²/(3t-a)). La dérivée de f en a est pénible. Celle en t s'étudie facilement. On trouve que f croit en t de a/2 à 2a/3 puis décroit de 2a/3 à a. Les aires minimales coïncident et valent la moitié de l'aire de ABC soit a²3/8 ce qui impose a²=83q où q est un entier. Le maximum vaut 5a²/123 d'où a²=123p où p est un entier. On en tire que 3p=2q est les plus petits entiers vérifiant cela sont p=2 et q=3. Ainsi a=(243).

Il reste donc à préciser que j'ai considéré ici que l'aire minimale (à savoir la moitié de l'aire de ABC) est atteinte en a/2 et en a à savoir quand M=A et N=C donc si on se place dans le cadre de l'énoncé, ces aires ne sont pas atteintes.

Merci quand même pour l'énigme qui aurait mérité de faire réfléchir les membres de l'île (mais ça, c'est encore possible !)

Posté par
littleguy
re : Un quadrilatère bien encadré 13-03-16 à 16:48

> dpi

Et pour cette valeur de a, que vaut l'aire minimale ?

Posté par
dpi
re : Un quadrilatère bien encadré 13-03-16 à 16:51

0.9 bien sûr   donc pas entière  ...

Posté par
dpi
re : Un quadrilatère bien encadré 14-03-16 à 08:04

Bonjour,
Comme cet exercice nous a fait réfléchir , je donne une méthode
"pratique" pour le résoudre:
le rectangle MNAC  aura son aire maximale  quand il sera un trapèze
(MN AC et son aire minimale quand il sera réduit à
un triangle ANC (ce qui  sema le doute).
En utilisant Thalès on peut bâtir 9  triangles équilatéraux   de coté a/3
et de surface égale au 1/9 de ABC.
Donc aire maximale = 5/9 et minimale 4.5/9 ces deux valeurs seront entières
et minimales pour  ABC =18 =a²  3/4
et donc a=\sqrt{24\sqrt{3}}
                                  

Challenge (énigme mathématique) terminé .
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