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Un quadrilatère, Deux chemins. Ca parait simple! Et pourtant ...

Posté par
Nightmare
16-12-05 à 21:08

Bonsoir à tous

Voici un exercice qui m'est venu à l'esprit et auquel j'ai réfléchis en cours de français (bon ... ) et auquel je n'arrivs malheureusement pas à apporter réponse. Peut être que la solution n'est pas aussi simple qu'elle semble être !

Voici l'énoncé :

Soit ABCD un quadrilatère convexe quelconque.
On considére un chemin f quelconque restant à l'interieur du carré reliant A à C et un chemin g quelconque restant aussi à l'interieur du carré reliant B à D.
(voir schema ci-joint)

Démontrer que f et g se croisent au moins une fois.

Cela rappel le théorème des valeurs intermédiaires mais f et g ne sont pas forcément des graphes de fonctions. Je pense que ça fait appel à des notions de topologie que je n'ai pas encore, si un expert passe par là

Merci à vous pour vos éventuelles réponses



Un quadrilatère, Deux chemins. Ca parait simple! Et pourtant ...

Posté par
piepalm
re : Un quadrilatère, Deux chemins. Ca parait simple! Et pourtan 16-12-05 à 21:39

Je crois avoir lu (et participé) à un sujet voisin sur un autre forum, il y a quelques mois: il est assez facile de tourner en rond sur un tel sujet. Le quadrilatère privé d'une ligne continue joignant A à C, n'est pas connexe...

Posté par
Nightmare
re : Un quadrilatère, Deux chemins. Ca parait simple! Et pourtan 16-12-05 à 21:39

La résolution devient triviale si f et g sont rectilignes, mais dans le cas d'un lacet quelconque c'est plus délicat.

Pour faciliter la recherche j'ai pensé tout dabord considérer que ABCD est un carré ou un rectangle, on a l'apparition d'un repére orthonormé clair, mais bon on a toujours le problème des chemins f et g qui ne sont pas des graphes de fonctions...

Posté par
Nightmare
re : Un quadrilatère, Deux chemins. Ca parait simple! Et pourtan 16-12-05 à 21:41

Merci piepalm je vais lancer ma recherche sur google.

"Le quadrilatère privé d'une ligne continue joignant A à C, n'est pas connexe..."

Qu'entends-tu par là ?

f est bien sûr continue sinon l'énoncé devient trés ambigue.

Posté par
otto
re : Un quadrilatère, Deux chemins. Ca parait simple! Et pourtan 16-12-05 à 22:16

L'idée parrait fort simple.
Comme le dit piepalm, le sujet a été abordé il y'a peu sur math-forum.

L'idée est celle ci:
un ensemble connexe par arcs est connexe (la réciproque est vraie dans R^n sur on suppose notre ensemble ouvert)
Ici on procède par contraposée:
Ton quadrilatère, notons le K, privée du chemin A->C est disconnexe, donc forcément disconnexe par arcs.
S'il est disconnexe par arcs, tu ne peux pas joindre B à D sans sortir de K, ou sans couper la frontière A->C au moins une seule fois.

Ca c'est l'idée topologique qui est derrière, reste à mettre ca en forme.
A+



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