salut

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la, fonction constante existe quels que soient les dix réels ...

Ah ^^, bien vu

Bien joué Carpediem

Deuxième étape

Existe t-il une telle fonction qui ne soit pas constante ?

Imod

je ne pense pas ...

en posant contient deux rationnels p et q et un irrationnel r :

1/ toute combinaison linéaire à coefficients rationnels "convenable" de p et r ou de q et r est "entre" p et r ou q et r et est un irrationnel

2/ la continuité de f et le TVI devraient aboutir à une contradiction

ce me semble-t-il ...

ou alors en jouant sur x alors on a une application :

or la translation est bijective sur R

donc on doit arriver à la conclusion que r(x) est constant : r(x) = r

et par continuité de f, f est constante

ce me semble-t-il ...

Beaucoup d'affirmations Carpediem mais "ce me semble -t-il" ce n'est plus  vraiment des maths ( même en détente ) .

Ce problème est un quickie , il y a donc une solution simple et rapide mais astucieuse .

Ici l'astuce est cousue de fil blanc

Imod

bien sur !! j'ai proposé deux idées générales ... qu'il faudrait développer et détailler en toute rigueur !!

maintenant ... j'ai épuisé mon stock d'astuces .. et je ne vois !!


une troisième idée ... mais qui ne me semble pas de l'ordre de l'astuce : faire tendre x vers l'infini ...

laissons les autres réfléchir ... et proposer ...

Laissons les autres réfléchir , c'est mon leitmotiv , les speedés de la gâchette m'agacent un peu . Il y a pleins d'autres idées mais il faut laisser les choses mûrir .

Imod

Un indice , on n'est pas obligé de regarder

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et

On n'est pas obligé et ce n'est même pas conseillé , correctif :

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et

Je ne pensais pas que cette question resterait si longtemps en suspens

Rien à dire sur   ?

Imod

Bonjour, Imod

Jamais je n'aurais trouvé sans ton indication.

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g et h sont continues et à valeurs dans , elles sont donc constantes.
On en déduit que f est constante ...

Bonjour Perroquet

Plus facile , je ne suis pas sûr , en tout cas ça m'évoque des souvenirs lointains de bases de Hammel ou de générateurs de groupes .

En tout cas il est clair qu'il y a plein de solutions non constantes ( en choisissant bien les ai ) .

Imod

ouais ... bravo ... parce que là je séchais !!!

il me semblais bien que f ne pouvais pas ne pas être constante ... mais de là à le démontrer correctement ... et penser aux fonctions g et h ...

Une famille de solutions non continues . On note le groupe additif engendré par les choisis au hasard . On prend une fonction de dans et on pose .

A-t-on récupéré tout le monde avec ce procédé ?

Imod

Bonjour, Imod.

On peut agrandir très légèrement la famille en considérant le groupe additif engendré par les .

Ce procédé permet d'obtenir toutes les fonctions de dans telles que:
   et   à valeurs dans   .

Mais c'est frustrant parce que cela ne permet pas a priori de construire explicitement une fonction non constante vérifiant ces propriétés.

Et puis, on oublie les fonctions pour lesquelles, pour tout ,   est la réunion d'un irrationnel et d'une partie de (cette partie de pouvant être l'ensemble vide).

Je sais construire explicitement de telles fonctions.

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Si l'un des n'est pas rationnel:
prendre telle que sa restriction à soit constante, à valeurs dans   et telle que sa restriction à soit à valeurs dans .

Si tous les sont rationnels:
le sous-groupe engendré par les est de la forme avec .
Prendre   -périodique, à valeurs dans .
Ici, j'ai pu construire explicitement  une fonction appartenant à la famille de solutions non continues décrite par Imod

Bonsoir Perroquet

Oui on gagne un peu considérant le groupe généré par les et si ce groupe n'est pas un alors il est dense dans donc difficilement visible comme les fonctions qui en découlent .

Le cas continue est bien plus propre

Imod