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un souci pour un exercice sur les suites numériques

Posté par LOKI (invité) 19-01-05 à 18:58

Bonjour,
j'ai fait l'exercice mais je ne suis pas sure du tout de mes résultats.
Voici le sujets et à la fin mes réponses correspondantes.

Sujet:
On construit un "escargot" formé de demi-cercles successifs, chaque demi-cercle ayant un rayon égal à la moitié du précédent.
Le premier demi-cercle a pour rayon 1.

1°) x est un nombre réel tel que :  x compris entre 0 et 1 . Et n un entier naturel non nul.
a)développer le produit:  (1-x)(1+x+x^2+...+x^n).
b)En déduire que :  1+x+x^2+...+x^n (< et égale à) 1/(1-x).

2°)On note Ln le périmètre d'un "escargot" formé de n demi_cercles successifs.
Montrer que la suite (Ln) est majorée et en donner un majorant.

Mes réponses:
1°)a) -x^n+1  +x^n  -x^3  +1
   b)je trouve que (1-x)(1+x+x^2+...+x^n) < 1
               donc, 1+x+x^2+...+x^n < 1/(1-x)
2°)majorant: 2pi

Veuillez bien me faire connaitre si ces résultat sont exacts , je vous en remercie d'avance.

Posté par minotaure (invité)re : un souci pour un exercice sur les suites numériques 19-01-05 à 19:35

salut
1a) non
(1-x)(1+x+x^2+...+x^n)=(1-x)*(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5...+x^n)

il faut considerer toutes les puissances de x de 1 a n,
c'est e que veulent dire les pointilles.il ne faut pas s'arreter a ce qui a ete ecris explicitement.

donc (1-x)(1+x+x^2+...+x^n)=1-x^(n+1)
donc SI x different de 1(pas precise dans l'enonce ?), on peut diviser par x-1
donc 1+x+...+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)=<1/(1-x)
car -x^(n+1)=<0

perimetre du premier demi cercle : Pi
deuxieme Pi*(1/2)
troisieme Pi*(1/4)
quatrieme Pi*(1/8)
....
L(n)=Pi+Pi/2+Pi/4+Pi/8+...+Pi/(2^(n-1))
L(n)=Pi*(1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1))
L(n)=Pi*(1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1))

d'apres la question precedente :
(1+1/2+(1/2)^2+...+(1/2)^(n-1))=<1/(1-1/2)=2
donc L(n)=<2*Pi. et ce pour tout n.
donc la suite L est majoree et un de ses majorants est tout reel superieur ou egal a 2*Pi.
on peut choisir 2*Pi comme 3*Pi...au choix !
a+

Posté par LOKI (invité)merci 19-01-05 à 19:43

Je te remercie infiniment de m'avoir aider pour cet exo, Minautore !!!!

Posté par LOKI (invité)compréhension 19-01-05 à 20:00

Je voulais savoir si , x est un nombre réel tel que :
0 < x < 1 , sa changé ta réponse à la question 1°)a).
Merci d'avance.

Posté par minotaure (invité)re : un souci pour un exercice sur les suites numériques 20-01-05 à 12:54

non
il faut savoir que
(1-x)(1+x+x^2+...+x^n)=1-x^(n+1) est valable pour x dans R (et meme au dela, bien au dela...)

(1-x)(1+x+x^2+...+x^n)=1-x^(n+1) => 1+x+...+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x) A LA CONDITION QUE x DIFFERENT DE 1.
cette egalite est vraie que si x different de 1.
OR dans ton enonce a l'origine il y avait seulement marque x compris entre 0 et 1.
cela supposait que x pouvait etre egal a 1.
c'est pour ca que j'ai suppose x STRICTEMENT inferieur a 1 pour que le raisonnement soit vrai.

si maintenant tu dis que 0<x<1, aucun probleme !.


Posté par LOKI (invité)Remerciments 20-01-05 à 16:08

Encore merci, pour cet exo , Minotaure !
J'ai bien tout compris grâce à tes explications . Je t'en remercie. Bonne journée.



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