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Un système simple

Posté par
alainpaul
05-10-15 à 10:16

Bonjour,


Comment résoudre le système d'équations suivant:

       x^2-y^2 =c
 \\ 2xy-y^2=d  ;  x,y,c,d \in R ,c et d connus.


Alain

Posté par
zzoe
re : Un système simple 05-10-15 à 11:06

Bonjour,
Je ne suis pas allée au bout mais  par soustraction membre à membre:
x²-2xy=c-d

A partir de là, on peut avoir y en fonction de x.
On a alors une équation à une seule inconnue, qui me semble pouvoir devenir une équation bicarrée.

Bon courage!

Posté par
luzak
re : Un système simple 05-10-15 à 11:17

Bonjour !
Ce sont deux hyperboles du plan !
Tu peux paramétrer la première soit par des fonctions hyperboliques soit par des fonctions rationnelles.

Dans le cas c>0 (sinon inverser les formules pour x,y) : x=\alpha\dfrac{1+t^2}{1-t^2};\;y=\alpha\dfrac{2t}{1-t^2} et \alpha=\sqrt{|c|}.
En reportant dans la deuxième relation on fait apparaître une équation de degré 4, pas très sympathique ...

Avec les fonctions hyperboliques ce n'est pas drôle non plus, du genre (toujours avec c>0) 2\varepsilon c\,\mathrm{sh}\,t\;\mathrm{ch}\,t-c\,\mathrm{sh}^2\,t=d\varepsilon\in\{-1,1\} selon le signe de x.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Un système simple 05-10-15 à 11:36

Bonjour luzak,
heureusement que tu as bien vu que tu répondais à @alainpaul et pas à un lycéen ...


sinon en écrivant y² = x² - c (1ère équation)
et 2xy = d+y² (2ème équation

on peut élever la deuxième au carré (moyennant signe)
4x²y² = (d+y²)² et en substituant y², on obtient directement l'équation bicarrée sus-mentionnée par zzoe

et une équation bicarrée, c'est justement un équation de degré 4 mais tout à fait sympathique
(ne pas oublier de tenir compte du signe "égaré" quand on a élevé au carré)

Posté par
alainpaul
re : Un système simple 05-10-15 à 12:02

Bonjour,


J'ai volontairement posé mon problème dans Lycée/autre,seriez-vous d'accord
entre vous pour m'indiquer une rubrique plus ad hoc?

La question posée concerne la racine carrée d'un complexe c+dj
en restant sous cette forme,soit x+yj ,j la racine cubique connue,


Alain

Posté par
mathafou Moderateur
re : Un système simple 05-10-15 à 12:14

une équation bicarrée ça tombe parfaitement en Lycée (disons 1ère au moins, voire terminale si pas de "guide" pour substituer x² par X)

par contre le paramétrage par des fonctions hyperboliques ou rationnelles ... hum ...
ça n'a à mon avis rien à faire là.

et dans le cadre de la racine carrée d'un complexe c'est, dans le programme de Terminale aussi, si guidé par des questions explicites.
(y compris le morceau que tu as sauté pour transformer le complexe initial en ton système d'équations)

Posté par
alb12
re : Un système simple 05-10-15 à 12:33

salut,
ne serait-il pas preferable d'exprimer x en fonction de y dans l'equation 2 ?
on obtient rapidement l'equation bicarree en y
les calculs semblent plus simples ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Un système simple 05-10-15 à 12:36

on obtient moins rapidement avec un y en dénominateur qu'il faut chasser ensuite à mon avis.
ma méthode donne l'équation bicarrée en 2 lignes de calculs.

Posté par
alainpaul
re : Un système simple 05-10-15 à 12:38

Bonjour,


Merci pour vos réponses,


Les modules s'expriment alors simplement: |x+yj|^2=x^2-xy+y^2=\sqrt{c^2-cd+d^2}

J'aimerais votre aide pour les contraintes éventuelles à poser sur {c,d} ,mes calculs aboutissant à:

3x^2=  c +  d+2\sqrt{c^2-cd+d^2}
3y^2=-2c+d+2\sqrt{c^2-cd+d^2}  et leur signification,

Amicalement,

Alain

Posté par
alb12
re : Un système simple 05-10-15 à 15:35

d'apres mes calculs ce systeme aurait 2 solutions


 \\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\dfrac{2d-c+a}{\sqrt{d-2c+2a}}$ et $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\sqrt{d-2c+2a}
 \\ $ ou $
 \\ x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\dfrac{2d-c+a}{\sqrt{d-2c+2a}}$ et $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\sqrt{d-2c+2a}
 \\

à voir le cas d=0 exclu ici et peut-etre d'autres cas particuliers ?

Posté par
alb12
re : Un système simple 05-10-15 à 16:04

ou bien


 \\ x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times \text{sgn}(2d-c+a)\times\sqrt{c+d+2a}$ et $y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\sqrt{d-2c+2a}
 \\ $ ou $
 \\ x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times \text{sgn}(2d-c+a)\times\sqrt{c+d+2a}$ et $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times\sqrt{d-2c+2a}
 \\



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