Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Un tétraèdre régulier (produit scalaire)
Bonjour,
J'ai un DM de Mathématiques composé de trois exercices dont un sur lequel je butte, je voudrais savoir si quelqu'un pouvait m'expliqer afin de comprendre et de pouvoir faire n'importe quel type d'exercice de ce genre. Voici l'énoncé :
Soit un tétraèdre régulier ABCD tel que :
AB = BC = AC = CD = AD = BD = a ,
c'est à dire un tétraèdre régulier.
1. Préciser la nature des faces de ce tétraèdre.
Calculer en fonction de a :
Vecteur BA scalaire Vecteur BD et Vecteur BA scalaire vecteur BC.
2. deduire de la question 1. la valeur de vecteur BA scalaire vecteur CD.
Démontrer que les arêtes opposées du tétraèdre ABCD sont deux à deux orthogonales.
3. Soit H la projection orthogonale de A dans le plan (BCD).
En remarquant que vecteur BH = vecteur BA + vecteur AH, calculer vecteur BH sclaire vecteur CD.
Démontrer que H est l'orthocentre du triangle BCD.
1. Pour cette première question je sais que les faces du tétraèdre sont des triangles équilatéraux.
En revanche pour le prouver par cacul j'ai pas mal de problèmes ...
Ici je parle de vecteurs :
BA.BD = (BC + CA).(BC + CD)
BA.BD = BC.BC + BC.CD + CA.BC + CA.CD
BA.BD = a² + a² + a² + a²
BA.BD = 4a²
Ce que je trouve anormal, mais je ne vois pas d'autres solutions étant donné chaque coté est égale à une valeur a.
Pourriez me dire ce qui ne va pas s'il vous plait.
Merci.
P.S. Bonne année 2008 à tous.
bonsoir,
1) Les faces sont des triangles équilateraux donc les angles velent 60°
d'où :
de meme pour l'autre produit scalaire.
2)Utilise ici la relation de Chasles. Tu obtiens un produit scalaire nul donc...?
3)Si H est le projeté orthogonal de A sur BCD , (AH) est orthogonal au plan BCD donc à toutes les droites de ce plan.
Ce qui nous donne orthogonal à tous les vecteurs du plan BCD.
Le produit scalaire un fois decomposé comme demandé est donc nul ce qui fait de (BH) une hauteur du triangle BCD.
On pourrait recommencer cette demo pour les trois hauteurs.
On en deduit que H est l'orthocentre du triangle BCD.
Merci Sarriette de bien vouloir m'aider ...
1.BA.BD = ||BA|| * ||BD|| * a²/2
BA.BD = a * a * a²/2
BA.BD = 2a²/2 soit a²
BA.BC = ||BA|| * ||BC|| * a²/2
BA.BC = a * a * a²/2
BA.BC = 2a²/2 soit a²
(Ce sont des vecteurs)
Peux-tu me dire si cette fois ma réponse est exacte ?
Je crois que 2008 n'arrangera pas la relation qui existe entre les maths et moi ... Je rectifie :
1.BA.BD = ||BA|| * ||BD|| * 1/2
BA.BD = a * a * 1/2
BA.BD = a²/2
BA.BC = ||BA|| * ||BC|| * 1/2
BA.BC = a * a * 1/2
BA.BC = a²/2
(Ce sont des vecteurs)
Ne me dis pas que j'ai encore tort 
Ouff
2.
BA.CD = (BC+CA).(CA+AD)
BA.CD = BC.CA + BC.AD + CA.CA + CA.AD
BA.CD = a * (-a) + a * a + (-a) * (-a) + (-a) * a
BA.CD = -a² + a² + a² -a²
BA.CD = 0
(Une fois de plus ce sont des vecteurs)
Les arêtes opposées du tétraèdre ABCD sont donc deux à deux orthogonales.
hum... nope! 
Les produits scalaires que tu as calculés ne tiennent pas compte des angles...
De plus tu ne connais pas BC.AD ( en vecteurs).
Il est plus simple de faire ( en vecteurs)
BA.CD = BA.(CB+BD)
= BA.BC + BA.BD
= a²/2 - a²/2
= 0
et même conclusion !
En effet c'est plus simple, mais la façon dont j'ai fais mon calcul et quand même bonne ou je me suis complétement trompée ?
Pour la question trois je dois bien montrer que BH.CD est nul afin de proouver que H est l'orthocentre du triangle BCD ?
Ce qui donnerait :
BH.CD = (BA+AH).(CA+AD)
BH.CD = BA.CA + BA.AD + AH.CA + AH.AD
le problème c'est que je ne connait pas la valeur de AH ...
non ce que tu avais calculé était faux , tu n'avais pas tenu compte des angles entre les vecteurs
pour l'autre relation ne décompose pas CD , garde le ainsi.
Tu obtiens:
BH.CD = (BA+AH).CD
= BA.CD + AH.CD
et là tu utilises le fait que les arêtes opposées sont orthogonales et que (AH) est orthogonale au plan BCD.
à toi !
3.BH.CD = (BA+AH).CD
BH.CD = BA.CD + AH.CD
BH.CD = (-a)* a + AH * a
Excuse moi Sarriette je ne comprends pas comment je dois faire sans la valeur AH ...
Mais en tout cas merci de prendre du temps avec nous pour nous aider. 
oui excuse moi je n'ai pas vu ton post
alors:
BA.CD = 0 car arêtes opposées.
AH.CD = 0 aussi meme si tu ne connais pas AH. En effet (AH) est orthogonale au plan BCD donc à toutes les droites de ce plan, ce qui fait de un vecteur orthogonal à
Ah d'accord j'ai compris, donc comme le produit scalaire BH.CD est nul, H est bien l'orthocentre du triangle BCD ?
en fait cela prouve que (BH) et (CD) sont perpendiculaires ( et non orthogoanles car dans le meme plan) .
Puis il faut dire qu'on peut recommencer ce raisonnement avec par exemple (CH) et (BD) pour montrer qu'elles sont aussi perpendiculaires ce qui fera de H le point de rencontre de deux hauteurs et donc l'orthocentre.
ok?
D'accord, faut vraiment pas confondre le vocabulaire en mathématiques ...
Tu vas dire que je suis casse-pied et t'as pas tort, mais est ce que ça t'embeterai de corriger les 2 autres exercices que j'ai fait ...
Il est dans fonction, et se nomme Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une parabole.
Si tu ne veux pas ce n'est rien, mais en tout cas je peux te dire un grand merci car j'ai enfin compris et aussi parce que tu veux bien nous donner un peu de ton temps chose rare de nos jours ...
Merci.
Sinon tu n'as pas une adresse msn, sa serait plus simple. Mon adresse c'est ***
édit Océane : pas d'adresse mail dans les messages
didine: ne jamais mettre son adresse msn en clair sur le forum , un modo ne devrait pas tarder à l'effacer ... Tu peux utiliser pour cela la case réservée dans ton profil.
Il est beaucoup plus simple de poster tes exos sur l'ile pour obtenir une correction. Il y a plus de correcteurs en ligne et pleins d'outils pour écrire les formules mathématiques ou faire des figures. Ce n'est pas le cas sur msn!
Bonjour Sarriette,
Je me suis trompée, mon second exercice est dans "non classé" et s'intitule Etude de l'intersection d'une hyperbole et d'une parabole.
On se retrouvera peut-etre sur ce sujet ...
Merci
bonsoir didine,
Ce qui me donne l'accasion de voir que tu l'as posté deux fois et que deux correcteurs ont bossé dessus en meme temps ... pas sympa ça ...
Le multi post est interdit sur le forum!
tu cliques sur la petite icone à coté de ton nom , et tu vois tes 30 derniers messages
ou bien tu cliques sur 
et tu vois tous tes sujets postés.
Bonjour à vous!
J'ai le même exo à faire, mais j'ai en + :
.Calculer AH en fonction de a
.En déduire le volume de la pyramide ABCD en fonction de a.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ??
Voilà voilà, merci d'avance à vous tous!
bonne journée,
Ryan.
bonjours sariette est ce que tu pourrait m'aider pour mes exercice sur le produit scalaire stp ?
j'ai encor besoin d'aide je n'y arrive pas stp
bonsoir Ryan ,
désolée de voir ton sujet si tard.
les faces sont des triangles equilateraux.
donc les hauteurs sont medianes en meme temps.
appelons D' le milieu de [BC]
on a : DH = (2/3) DD'
et DD'= comme hauteur d'un triangle equilateral ( se redemontre avec Pythagore)
donc DH =
dans le triangle rectangle DHA on applique pythagore et on a : AH²+DH²=AD² soit d'où
tu en deduis
puis le volume d'une pyramide = 1/3 × hauteur × aire base
verifie les calculs
Annuler
connectez vous