Un théorème de Jordan.

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Un théorème de Jordan.
Posté par 
Rodrigo  26-01-09 à 19:43
Bonjour,

Vu le succès de mes sujets en théories des nombres, je change un peu de sujet.

Le but de cet exercice est de montrer un théorème de Jordan

Citation :
Tout sous groupe d'exposant fini de GL(n,C) contient un sous groupe abélien distingué d'indice majoré.

1) Soit G un sous groupe de Gl(n,C) d'exposant m, montrer que G est fini.

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On pourra s'interesser au traces des elements de G, l'ensemble des traces étant noté T, et trouver une injection de G dans un certain T^d. On peut aussi faire appel a la théorie des representations

Il nous suffit donc de prouver le resultat pour un Groupe fini

2) Montrer que l'on peu se ramener au cas ou le groupe G est un sous groupe du groupe unitaire.

On munit Mn(C) de sa norme canonique a savoir |A|²=Tr(AA*), notez que la norme est invariant par muliplication par une matrice unitaire.

3)Soient A et B deux matrices unitaires (de G) telles que |1-B|<2, si A commute avec (A,B) ((A,B)=ABA^{-1}B^{-1}, le commutateur) alors A et B commutent. 

4) Soient A et B deux matrices (de G) montrer que 

5) Soient A et B deux matrices de G montrer que si |1-A|<1/2 et |1-B|<2, alors A et B commutent.

6) En deduire le résultat

7) Question Bonus: Montrer que le cardinal d'un sous groupe fini de GL(n,Z) est majoré par (3^n-1)...(3^n-3^{n-1})

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On pourra montrer que l'on a une application naturelle Gl(n,Z) dans Gl(n,Fp), qui en resitriction a un groupe fini est toujours injective, pour p un nombre premier plus grand que 3

Quelques remarques: Toutes les questions (sauf la 2 et la 4) sont difficiles, voire très difficiles (surtout la 3)(n'hésitez pas a demander un indice) mais sont abordables avec des connaissances prepa uniquement.

Ce sujet est tiré d'un exposé que j'avais donné au séminaire des élèves de l'X sur les sous groupe fini de GL(n,C) lui meme tres fortement insipré (voire extrait) d'un mini article d'Yves Laszlo, si qqun est interessé qu'il me le dise et je lui enverrai les notes d'exposés
 Posté par 
Vi0demore : Un théorème de Jordan.  26-01-09 à 19:50
moi je peut pas t'aider mais toi peut être que si???
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1 Schumi 1re : Un théorème de Jordan.  02-02-09 à 22:07
Salut 

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1) J'ai triché un peu pour cette question: j'ai vu un exo avec des questions dont le but était la démo de ce résultat, donc je l'ai fait. Je sais, c'est pas bien... 

Donc je détaille pas trop, vu que j'ai rien vu quasiment:

On considère une famille (g1,...,gn) finie de G qui génère Vect(G) et on considère l'application définie par .(Rétrospectivement, je me demande comme j'ai fait pour ne pas y penser seul...)

Le point pas triviale c'est de montrer qu'elle est injective. Pour cela, on prend deux éléments qui ont la même image disons a et b et on considère 1-ab^(-1) (très très stûcieux, faut l'avouer). Elle est nilpotente (la trace de chacune de ses puissances est nulle) et diagonalisable (car ab^(-1) est dans G et que X^m-1 a la bonne idée d'être scindé à racines simples). D'où 1-ab^(-1)=0 et a=b.

T^n est évidemment fini, on conclut zézaiement.

2) Le déterminant induit un morphisme de G dans le groupe des racines m-ièmes de l'unité. L'intersection du noyau de ce morphisme et l'eventuel ss-grp abélien distingué d'indice majoré l'est également il me semble.

3) Pas vraiment commencé à chercher.

4) Pas encore fait non plus, mais je vois pas trop ce qu'elle a de triviale c'te question... J'ai dû zapper un truc.

5) Par contre, elle, elle est drôlement facile. On procède par l'absurde.

On construit une suite Cn d'éléments de G ainsi: C0=B et pour tout n dans N, on pose Cn+1=(A,Cn).

Par une récurrence relativement immédiate, le fait que A ne commute pas avec B se traduit par (cf 3) que A ne commute avec aucun des Cn et donc que pour tout n, Cn\neq 1.

Par suite (|1-Cn|) est une suite strictement décroissante ce qui est parfaitement absurde vu que G est fini.

6) J'y travaille, j'y travaille...

 Posté par 
Rodrigore : Un théorème de Jordan.  03-02-09 à 00:05
Ayoub

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Nickel pour la 1), par contre certes comme tu l'a ecrit c'est astucieux mais en fait c'est tres naturel, si t(h)=t(h') où t est le vecteur des traces, alors par linéarité de la trace, Tr(hg)=Tr(h'g) pour tout g de G, et donc pour g=h^{-1}, on a n=Tr(hh^{-1}) mais la trace de ce dernier est ue somme de craine n-ieme de l'unité, si cette somme vaut n c'est que toutes valent 1.

On pouvait aussi utiliser des représentations de groupe c'est un cas particulier du theoreme du coté brulé.

Pour la 2), il est tard et j'avoue ne aps voir le rapport.

La 5), c'est ca! Moi je le trouve tres joli ce raisonnement!! 
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1 Schumi 1re : Un théorème de Jordan.  05-02-09 à 00:17
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Euh oui, c'est moi qui ai cracké je crois... ^^ On divise les éléments de G par leur déterminant tout simplement. Ca ne change rien au résultat.

Un nain dix pour la 3) quand même. Je crois entrevoir pourquoi ça marche mais j'arrive pas à démarrer et à avoir une pensée structurée là.

 Posté par 
Rodrigore : Un théorème de Jordan.  05-02-09 à 01:07
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Ben c'est pas parce que les matrices sont de det=1 qu'elles sont unitaires... SL2 est plus gros que SU2. Je te donnerai u indice pour la 3 demain...la je fatigue...
 Posté par 
Rodrigore : Un théorème de Jordan.  05-02-09 à 13:13
Voila un indice pour la 3)

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 Comme A et B^{-1}AB commutent par hypothese et sont diagonalisables, on peut supposer que A et B^{-1}AB sont diagonales, et il existe alors une matrice de permutation (donc unitaire) P telle que P^{-1}AP=B^{-1}AB, donc R=PB commute avec A. Montrer alors que la permutation associée a la matrice P laisse les sous espaces propres de A invariants et donc commute avec A (c'est ici qu'intervient l'hypothese (|1-B|<2)
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lolo217re : Un théorème de Jordan.  05-02-09 à 16:06
Pour la  7  on a même que le cardinal du groupe fini divise le (3n-1( ..) ...(3n-3n-1)
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1 Schumi 1re : Un théorème de Jordan.  06-02-09 à 20:35
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Oups... j'ai tout bêtement confondu les deux ensembles: j'étais pas prêt de démontrer quoique ce soit de juste...

Sinon merci pour le nain dix, j'y réfléchi c'te weekend.

  Posté par 
lolo217re : Un théorème de Jordan.  06-02-09 à 23:16
un indice pour la 2) :

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une moyenne est souvent invariante