Un truc pépère

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Un truc pépère
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Imod  26-07-23 à 11:31
Bonjour à tous 

Un petit exercice niveau 5ème 

Dans un quadrilatère convexe ABCD , la parallèle à [AC] passant par le milieu de [BD] coupe [AB] en K . Montrer que [CK] partage ABCD en deux polygones de même aire .

On s'amuse sans blankage excessif .

Imod

PS : j'ai du retaper mon message le forum refusant les titres incluant les mots exercice , problèmes , ...  j'ai remplacé par truc qui est encore accepté 
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Sylvieg re : Un truc pépère  26-07-23 à 17:46
Bonjour,

Tu aurais pu choisir un titre genre "une même aire pépère" 
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larrechre : Un truc pépère  26-07-23 à 17:48
Bonjour,

Tous ces triangles qui ont même air(e) on s'y perd pépère.
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Imodre : Un truc pépère  26-07-23 à 18:16
Je ne manque pas d'idées pour le choix des titres mais j'avoue que certains interdits me laissent un peu sur le Q .

Imod
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Imodre : Un truc pépère  26-07-23 à 18:19
Sinon , l'exercice est vraiment de niveau 5ème , mais bon ...

Imod
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malou re : Un truc pépère  26-07-23 à 20:09
Imod @ 26-07-2023 à 18:16

Je ne manque pas d'idées pour le choix des titres mais j'avoue que certains interdits me laissent un peu sur le Q .

Imod

Bonjour Imod

Oui on ne peut pas lever les interdictions sur un seul forum...si tu veux un autre titre une fois que tu as posté tu fais un signalement avec le titre que tu désires vraiment

Une fois publié un modérateur peut modifier le titre

Perso c'est ce que je fais qd le titre me bloque, je publie avec un titre "banal" puis je le change

Depuis que ces interdictions sont en place nous n'avons plus les titres "exo pour demain" ou choses du genre

Bonne soirée à tous 
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Imodre : Un truc pépère  27-07-23 à 12:04
Je râle par principe 

Disons qu'à priori un site de maths qui bannit les titres contenant les mots "exercice" ou "problème" peut surprendre mais en fait je comprends le pourquoi  .  D'un autre côté un élève paresseux trouvera  plein d'astuces pour éviter la censure .

Imod
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dpire : Un truc pépère  28-07-23 à 15:13
Bonjour,

J'ai observé le trapèze ACKJ   (la parallèle à AC coupe BC en J)

le croisement des diagonales AJ  et CK  forment deux triangles d'aire égale, le premier appartient au quadrilatère ADCK  le second au triangle BCK .

Je continue sur cette piste....
 Posté par 
Imodre : Un truc pépère  28-07-23 à 17:38
Curieusement il n'y a pas besoin de définir d'autres points , il suffit de savoir que l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de sa base par sa hauteur .

Imod
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Imodre : Un truc pépère  28-07-23 à 17:56
Une illustration ( la moindre des choses pour un exercice de géométrie ) .

Imod
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larrechre : Un truc pépère  28-07-23 à 18:08
Bonjour,

Une figure peut être utile. J'ai appelé M le milieu de BD.

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larrechre : Un truc pépère  28-07-23 à 18:16
Aïe je me suis trompé. C'est un autre exo...On oublie.
 Posté par 
larrechre : Un truc pépère  28-07-23 à 18:47
En fait le raisonnement est le même

 Cliquez pour afficher
Aire(ADM)=Aire(AMB) et Aire(CDM)=Aire(CMB)

en  additionnant Aire(AMCD)=Aire(AMCB)=Aire(ABCD)/2

Or Aire(AKC)=Aire(AMC) d'où

Aire (AMCD)+Aire(AKC)-Aire(AMC)=Aire(AKCD)=Aire(ABCD)/2
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Sylvieg re : Un truc pépère  28-07-23 à 19:35
Pépère, pépère...

Il a fallu que je lise le début du blanké de larrech pour me débloquer 

Ma suite est un peu différente ; je détaillerai demain.
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Imodre : Un truc pépère  28-07-23 à 21:19
Qu'est-ce qui rend un exercice facile ? Les arguments utilisés sont élémentaires 

Imod
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dpire : Un truc pépère  29-07-23 à 09:14
Bonjour,

Je termine..

 Cliquez pour afficher
Dans le trapèze ACJK les deux triangles bleus ont la même aire.

Les triangles ADP et APB ainsi que CDP et BCP  ont la même aire

En échangeant on obtient aire APCB= aire APCD

en soustrayant les petits triangles bleus on obtient l'égalité des 

aires définies par KC

 Posté par 
Imodre : Un truc pépère  29-07-23 à 10:14
Oui , ça marche aussi 

J'avais à peu près la même chose que Larrech en écrivant que ABCD=2(BMA+BMC) et KBC=BMA+BMC .

Imod
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Sylvieg re : Un truc pépère  29-07-23 à 11:27
dpi m'a doublée 

J'ai utilisé les mêmes petits triangles.

En résumé, avec I le milieu de [BD], la ligne brisée AIC partage le polygone ABCD en deux polygones de même aire.

Deux petits triangles de même aire permettent de remplacer cette ligne par le segment [CK]. 

Détails :

 Cliquez pour afficher

Les triangles ACI et ACK ont un côté commun  AC.

Les hauteurs associées, issues de I et K, sont de même longueur car (IK)  (AC).

D'où aire(ACI) = aire(ACK).

Puis l'égalité des aires des deux triangles doublement hachurés.

En utilisant le début de la démonstration de larrech, les aires des quadrilatères hachurés horizontalement et verticalement sont égales :

aire(AICD) = aire(AICB).

Or aire(AICD) = aire(AQCD) + aire(QIC) = aire(AQCD) + aire(AQK) = aire(AKCD).

De même aire(AICB) = aire(KQICB) + aire(AQK) = aire(KQICB) + aire(CQI) = aire(KCB).

D'où  aire(AKCD) = aire(KCB).