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Niveau énigmes
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Un un

Posté par
LittleFox
21-02-18 à 17:09


Vous connaissez peut-être la séquence:

1
11
21
1211
111221
312211
13112221


Où A(n) est la "lecture" de n. Par exemple A(312211) est 'un' 3, 'un' 1, 'deux' 2 et 'deux' 1 = 13112221.

Existe-t-il un n (peut-être infini) autre que 22 tel que A(n) = n?

C'est une question ouverte, je n'ai pas la réponse

Posté par
matheuxmatou
re : Un un 21-02-18 à 18:23

ah oui tiens... la suite de Conway... amusant comme question, je ne me l'étais jamais posée...

Posté par
carpediem
re : Un un 21-02-18 à 20:05

salut

soit n = \sum_0^p a_k 10^k où les a_k sont des chiffres avec a_p non nul (le seul chiffre de n non nul est le premier sauf éventuellement pour le premier terme qu'on se donne : EX : on commence par 0123 !! et le nombre de 0 du nombre n lorsque 0 est le chiffre de droite lui n'est pas nul et ne commence pas par un zéro)

si on note f(a_k) = n_k est le nombre d'occurrences consécutives du chiffre a_k (quand on démarre de a_k et f(a_k) = 0 si a_{k - 1} = a_k

EX :   n = 1223 donc A(n) = 112213 = \sum_0^3 [10f(a_k) + a_k] 10^{2k} dont la somme des chiffres est

f(1) = 1
f(2) = 2
f(2) = 0
f(3) = 1

alors la somme des chiffres de n est  s(n) = \sum_0^p a_k = \sum_0^3 a_k \times f(a_k) = 1 * 1 + 2 * 2 + 2 * 0 + 1 * 3 = ...

et la somme des chiffres de A(n) est s(A(n)) = \sum_0^p s(f(a_k)) + \sum_{f(a_k) \ne 0} a_k

or A(n) = n <=> s(n) = s(A(n))

l'informatique résout le système s(n) = s(A(n)) \iff \sum_0^p s(f(a_k) + \sum_{f(a_k) \ne 0} a_k = \sum_0^p a_k f(a_k) en les p + 1 inconnues les chiffres positifs a_0, a_1, ...a_p

heureusement mon intelligence aussi !!! .... enfin je l'espère

\sum_0^p s(f(a_k)) + \sum_{f(a_k) \ne 0} a_k = \sum_0^p f(a_k)a_k \iff \sum_0^p a_k [f(a_k) - 1] = \sum_0^p s(f(a_k))

bouh mon intelligence me fait défaut ....

Posté par
LittleFox
re : Un un 22-02-18 à 09:46

@carpediem

J'ai un peu de mal à suivre toutes tes équations et ça me perturbe que f(2) = 2 et f(2) = 0 même si je comprends ton raisonnement .

Cette idée que puisque les chiffres sont les mêmes alors la somme des chiffres doit être la même est pas mal mais je pense que s'il y a d'autres solutions alors elles sont infinies. Et donc on compare une somme infinie avec une autre et on ne peut rien conclure .

Voici où j'en suis :
- En base quelconque le nombre infini ...dddddddd est une solution pour tout chiffre  d.
- Je n'ai pas trouvé de solution intéressante en base 10 mais bien en base 2.
- En base 2 le nombre qui se termine par ...10110 et tel que A(n) = n  est unique et parfaitement défini (mais infini). En effet on peut le construire de droite à gauche.


                   n                       A(n)
            ...10110                ...11010110
         ...11010110            ...110111010110
     ...110111010110       ...11011110111010110
...11011110111010110 ...11010011011110111010110


J'ai trouvé ce suffixe (et d'autres) en regardant les n qui sont les suffixes de leur A(n).  En base 10 j'ai chaque fois été bloqué par une condition comme celle-ci :
...xy2abbcc
y doit être 2. Si x est 2 alors on a au moins 3 2 et x doit être > 2 et ça ne marche pas, si x n'est pas 2 alors on a deux 2 et x doit être 2... Impossible.

Posté par
dpi
re : Un un 22-02-18 à 09:52

Bonjour

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Posté par
dpi
re : Un un 22-02-18 à 10:16

Suite

 Cliquez pour afficher
.

Posté par
LittleFox
re : Un un 22-02-18 à 10:23

@dpi

Effectivement si on suit la séquence originale, elle grandit encore et encore et il a été prouvé qu'elle grandit indéfiniment. (Note il est facile de montrer que le chiffre 4 et tous les chiffres > 3 n'apparaissent jamais dans la séquence originale)

Ici je cherche a construire un n (pas nécessairement membre de la séquence originale) tel que n = A(n).

Posté par
LittleFox
re : Un un 22-02-18 à 11:05

En base 3 il y a des nombres finis qui marchent. Par exemple :
A3(1111211110111103) = 1111211110111103

Voici le code que j'utilise (python) :

def getRepr(n,base=10):
   if n == 0:
      return '0'
   char = '0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'
   s = ''
   while n > 0:
      n,r = divmod(n,base)
      s = char[r] + s
   return s


def A(s,base=10):
   i,a = 0,''
   while i < len(s):
      j = 1
      while i+j < len(s) and s[i+j] == s[i]:
         j += 1
      a += getRepr(j,base) + s[i]
      i += j
   return a


def search(base=10):
   n = 0
   while True:
      s = getRepr(n,base)
      a = A(s,base)
      l = min(len(s),len(a))
      if s[-l:] == a[-l:]:
         print(s,a)
      n += 1

Posté par
LittleFox
re : Un un 22-02-18 à 11:15

Mes conjectures

En base 2 la seule solution finie est 111.
En base >3 la seule solution finie est 22.
En base 3 les solutions finies sont les concaténations des 3 solutions  de base 22, 11110 et  11112.

En base 2 et 3 il existe une infinité de solutions infinies.
En base >3 il n'existe aucune solution infinie.

Ça fait 5 conjectures, peut-être que certaines sont vraies

Posté par
carpediem
re : Un un 22-02-18 à 11:29

oui c'est un peu embrouillé c'est pourquoi je donnais les exemples ...

le pb c'est que je n'arrive  pas à expliciter A(n) et la somme de ses chiffres proprement effectivement

je ne m'occupe pas non plus des nombres "infinis" bien sur

je n'ai pas compris le premier msg de dpi à 9h52 et ton msg suivant

LittleFox @ 22-02-2018 à 10:23

@dpi

Effectivement si on suit la séquence originale, elle grandit encore et encore et il a été prouvé qu'elle grandit indéfiniment. (Note il est facile de montrer que le chiffre 4 et tous les chiffres > 3 n'apparaissent jamais dans la séquence originale)

Ici je cherche a construire un n (pas nécessairement membre de la séquence originale) tel que n = A(n).

Posté par
LittleFox
re : Un un 22-02-18 à 11:39

@carpediem

Dans la séquence originale 1 -> 11 -> 21 -> 1211 -> 111221 -> 312211 -> ... Le 4 et les chiffres plus grands ne peuvent pas apparaître.

En effet, soit ...x4y... le premier terme où un 4 apparaît.
Soit le on a x '4' au terme précédent ce qui est impossible puisque c'est le premier terme avec un '4', soit on a 4 'y' dans le terme précédent. Celui-ci s'écrit donc ...ayyyy... or c'est impossible puisque l'on a deux séries de 'y' qui se suivent et qui auraient donc été combinées en une seule série (soit (a+y) 'y', soit (2y 'y').

On peut faire le même raisonnement pour les autres chiffres >4.

Posté par
dpi
re : Un un 22-02-18 à 14:01

Tout d'abord, je pensais que 4 apparaitrait tardivement puis comme littlefox j'ai vu  qu'il n'y aurait pas >3 d'où mon message de 1O h16
Avec départ à 1 soit un 1 je ne pense pas qu'on aura A(n)=n ni d'ailleurs =2n



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