Vous connaissez peut-être la séquence:
1
11
21
1211
111221
312211
13112221
salut
soit où les a_k sont des chiffres avec a_p non nul (le seul chiffre de n non nul est le premier sauf éventuellement pour le premier terme qu'on se donne : EX : on commence par 0123 !! et le nombre de 0 du nombre n lorsque 0 est le chiffre de droite lui n'est pas nul et ne commence pas par un zéro)
si on note f(a_k) = n_k est le nombre d'occurrences consécutives du chiffre a_k (quand on démarre de a_k et f(a_k) = 0 si a_{k - 1} = a_k
EX : donc dont la somme des chiffres est
f(1) = 1
f(2) = 2
f(2) = 0
f(3) = 1
alors la somme des chiffres de n est
et la somme des chiffres de A(n) est
or A(n) = n <=> s(n) = s(A(n))
l'informatique résout le système en les p + 1 inconnues les chiffres positifs a_0, a_1, ...a_p
heureusement mon intelligence aussi !!! .... enfin je l'espère
bouh mon intelligence me fait défaut ....
@carpediem
J'ai un peu de mal à suivre toutes tes équations et ça me perturbe que f(2) = 2 et f(2) = 0 même si je comprends ton raisonnement .
Cette idée que puisque les chiffres sont les mêmes alors la somme des chiffres doit être la même est pas mal mais je pense que s'il y a d'autres solutions alors elles sont infinies. Et donc on compare une somme infinie avec une autre et on ne peut rien conclure .
Voici où j'en suis :
- En base quelconque le nombre infini ...dddddddd est une solution pour tout chiffre d.
- Je n'ai pas trouvé de solution intéressante en base 10 mais bien en base 2.
- En base 2 le nombre qui se termine par ...10110 et tel que A(n) = n est unique et parfaitement défini (mais infini). En effet on peut le construire de droite à gauche.
n A(n)
...10110 ...11010110
...11010110 ...110111010110
...110111010110 ...11011110111010110
...11011110111010110 ...11010011011110111010110
@dpi
Effectivement si on suit la séquence originale, elle grandit encore et encore et il a été prouvé qu'elle grandit indéfiniment. (Note il est facile de montrer que le chiffre 4 et tous les chiffres > 3 n'apparaissent jamais dans la séquence originale)
Ici je cherche a construire un n (pas nécessairement membre de la séquence originale) tel que n = A(n).
En base 3 il y a des nombres finis qui marchent. Par exemple :
A3(1111211110111103) = 1111211110111103
Voici le code que j'utilise (python) :
def getRepr(n,base=10):
if n == 0:
return '0'
char = '0123456789abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'
s = ''
while n > 0:
n,r = divmod(n,base)
s = char[r] + s
return s
def A(s,base=10):
i,a = 0,''
while i < len(s):
j = 1
while i+j < len(s) and s[i+j] == s[i]:
j += 1
a += getRepr(j,base) + s[i]
i += j
return a
def search(base=10):
n = 0
while True:
s = getRepr(n,base)
a = A(s,base)
l = min(len(s),len(a))
if s[-l:] == a[-l:]:
print(s,a)
n += 1
Mes conjectures
En base 2 la seule solution finie est 111.
En base >3 la seule solution finie est 22.
En base 3 les solutions finies sont les concaténations des 3 solutions de base 22, 11110 et 11112.
En base 2 et 3 il existe une infinité de solutions infinies.
En base >3 il n'existe aucune solution infinie.
Ça fait 5 conjectures, peut-être que certaines sont vraies
oui c'est un peu embrouillé c'est pourquoi je donnais les exemples ...
le pb c'est que je n'arrive pas à expliciter A(n) et la somme de ses chiffres proprement effectivement
je ne m'occupe pas non plus des nombres "infinis" bien sur
je n'ai pas compris le premier msg de dpi à 9h52 et ton msg suivant
@carpediem
Dans la séquence originale 1 -> 11 -> 21 -> 1211 -> 111221 -> 312211 -> ... Le 4 et les chiffres plus grands ne peuvent pas apparaître.
En effet, soit ...x4y... le premier terme où un 4 apparaît.
Soit le on a x '4' au terme précédent ce qui est impossible puisque c'est le premier terme avec un '4', soit on a 4 'y' dans le terme précédent. Celui-ci s'écrit donc ...ayyyy... or c'est impossible puisque l'on a deux séries de 'y' qui se suivent et qui auraient donc été combinées en une seule série (soit (a+y) 'y', soit (2y 'y').
On peut faire le même raisonnement pour les autres chiffres >4.
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