Bonjour.
Je voudrais de l'aide pour trouver l'égalité demandée à la question (d) de l'exercice suivant.
Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans *, indépendantes et de même loi,
toutes deux définies sur le même espace probabilisé (,T ,P). On pose : I=min(X,Y), M=max(X,Y) et D= M-I
on suppose que les variables I et D sont indépendantes.
On note b=P(D=0) et, pour tout entier naturel k non nul, pk=P(X=k). On suppose pk > 0 pour tout k *.
(a) Exprimer le réel b à l'aide de la famille .
(b) Exprimer, pour tout entier naturel k, la probabilité P(I>k) à l?aide de la famille .
(c) Soit . En calculant la probabilité P(I > k,D = 0) établir l'égalité:
(d) i. En déduire, pour tout entier naturel k non nul, l'égalité :
ii. Calculer en fonction de b puis établir, pour tout entier naturel k non nul, l?égalité :
(e) En déduire que la loi commune des variables X et Y est géométrique de paramètre .
Voila ce que j'ai réussi à faire :
(a)
(b)
(c) On profite de l'indépendance des v.a I et D et on exprime la probabilité demandée de deux manières différentes