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Une curiosité matricielle

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
23-06-21 à 20:19

Bonjour


il est classique que pour \Large A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)~,~\mathbb K=\mathbb R~ou~\mathbb C~,~n\geqslant2 ,


l'implication \Large AB=I_n\Longrightarrow BA=I_n est vraie ,


alors que l'implication \Large AB=O_n\Longrightarrow BA=O_n est fausse


(où \Large I_n et \Large O_n désignent respectivement la matrice unité et la matrice nulle de taille n).


On peut alors se demander si on peut caractériser l'ensemble des matrices pour lesquelles cette implication est vraie ?


c'est à dire l'ensemble \Large \boxed{H=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb K)~/~\forall A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)~,~AB=M\Longrightarrow BA=M\}} bonne réflexion

Posté par
jandri Correcteur
re : Une curiosité matricielle 23-06-21 à 21:27

Bonjour elhor_abdelali,

merci pour cet exercice original.
Je propose une réponse :

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Une démonstration :
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Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une curiosité matricielle 24-06-21 à 00:02

Bonjour jandri


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Posté par
jandri Correcteur
re : Une curiosité matricielle 24-06-21 à 18:34

Bonjour elhor_abdelali,

la démonstration que j'ai proposée s'étend sans problème à un corps ayant au moins trois éléments (en remplaçant 2 par un scalaire différent de 0 et 1).

Je propose une autre démonstration valable pour tous les corps (y compris le corps à deux éléments) :

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Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Une curiosité matricielle 24-06-21 à 23:20

Bravo jandri



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