Niveau exercices

Une égalité avec deux parties entières

Posté par
Sylvieg 17-02-20 à 08:29

Bonjour,
Que pensez-vous de cette égalité : $E(\dfrac{3}{2} + \sqrt{n+1}) = E(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4n})$
Vraie ou fausse ?

Ce sont deux expressions proposées comme réponses dans Proba, une suite.

Posté par re : Une égalité avec deux parties entières 17-02-20 à 09:48

Bonjour,

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Posté par re : Une égalité avec deux parties entières 17-02-20 à 10:02

Bonjour trapangle,
Oui, je précise n entier
Ma démonstration était plus compliquée.

Posté par re : Une égalité avec deux parties entières 17-02-20 à 10:05

salut

soit $p = E( \sqrt {n + 1})$

$p \le \sqrt {n + 1} < p + 1 \iff p^2 - 1 \le n < (p + 1)^2 - 1 \iff 4p^2 - 3 \le 4n + 1 < 4(p + 1)^2 - 3 \iff \sqrt {p^2 - \dfrac 3 4} \le \dfrac 1 2 \sqrt {4n + 1} < \sqrt {(p + 1)^2 - \dfrac 3 4$

donc $p + \dfrac 1 2 \le a = E(\dfrac 1 2 + \sqrt {n + 1}) < p + 1 + \dfrac 1 2$ et a = p + 1

et $p \sqrt {1 - \dfrac 3 {4p^2}} + \dfrac 1 2 \le b = E(\dfrac 1 2 + \dfrac 1 2 \sqrt {4n + 1}) < (p + 1) \sqrt {1 - \dfrac 3 {4(p + 1)^2}} + \dfrac 1 2$

alors $p - \dfrac 3 {8p} + \dfrac 1 2 \le b < p + 1 - \dfrac 3 {8(p + 1)} + \dfrac 1 2$

or $0 < \dfrac 3 {8(p + 1)} < \dfrac 3 {8p} < \dfrac 1 2$ donc $p < b < p + 1 + \dfrac 1 2$ et b = p + 1

ouais bof ... il semblerait que a = b ...

autre méthode : noter k l'entier tel que $k^2 \le n + 1 < (k + 1)^2$

donc $k + \dfrac 1 2 \le a < k + 1 + \dfrac 1 2 => a = k + 1$

et $4k^2 -3 \le 4n + 1 < 4(k + 1)^2 - 3 \iff k\sqrt {1 - \dfrac 3 {4k^2}} + \dfrac 1 2 \le b < (k + 1) \sqrt {1 - \dfrac 3 {4(k + 1)^2}} + \dfrac 1 2$

... à voir ...

PS : geogebra permet de voir au moins ce qui se passe ...

Posté par re : Une égalité avec deux parties entières 17-02-20 à 10:07

bon je vois que trapangle est plus efficace que moi ...

Posté par re : Une égalité avec deux parties entières 17-02-20 à 10:16

Bonjour carpediem
Ma méthode compliquée sans les détails :

$p = E(\dfrac{3}{2} + \sqrt{n+1})$ est équivalent à
p² - 3p + 5/4 n < p² - p -3/4 $\;$ (1)

$p = E(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{1+4n})$ est équivalent à
p² - 3p + 2 n < p² - p $\;$ (2)

Et (1) et (2) sont équivalents.