Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau exercices
Partager :

Une égalité entre intégrales

Posté par
Kernelpanic
05-08-20 à 16:45

Bonjour à tous, j'ai appris l'existence d'une jolie égalité entre intégrales récemment, j'espère vous la faire découvrir...

Supposons que f : \R \to \R est une fonction telle que ces deux intégrales existent :

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx \end{aligned}

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x- \dfrac{1}{x})dx \end{aligned}

Montrer l'égalité entre ces dernières. Bonne rédaction .

Posté par
mousse42
re : Une égalité entre intégrales 05-08-20 à 22:21

Salut

Je tente un truc, je ne suis pas sûr du résultat, il fait trop chaud pour travailler

 Cliquez pour afficher

Posté par
Kernelpanic
re : Une égalité entre intégrales 05-08-20 à 22:50

Salut !

 Cliquez pour afficher

Posté par
mousse42
re : Une égalité entre intégrales 05-08-20 à 22:58

Bien vu ! le 1/6 qui me manquait se trouve sur l'intervalle que tu as ajouté

Posté par
jandri Correcteur
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 09:51

Bonjour Kernelpanic,

merci pour ce joli exercice.

Pour J_1=\int_{-\infty}^0 f\left(x-\dfrac1x\right)dx on fait le changement de variable

 Cliquez pour afficher
pour obtenir
 Cliquez pour afficher


Le même changement de variable pour J_2=\int_0^{+\infty} f\left(x-\dfrac1x\right)dx donne
 Cliquez pour afficher


On obtient bien le résultat demandé.

Posté par
mousse42
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 11:14

Bonjour,

A-t-on le droit de faire un changement de variable si f n'est pas continue? C'est une vraie question

Posté par
Kernelpanic
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 12:15

Je crois qu'il suffit qu'elle soit localement intégrable... mais on peut rajouter l'hypothèse continue pour le changement de variable .

Posté par
Kernelpanic
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 13:24

J'ai été déstabilisé par la question  de mousse42 et j'en ai oublié de te féliciter jandri !

J'avais une démonstration plus longue...

 Cliquez pour afficher


Pour ceux que ça intéresse, ça provient du "Glasser's master theorem" ; c'est un cas particulier appelé "transformation de Cauchy-Schlömilch" : .

Mine de rien, c'est assez utile, par exemple pour calculer \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp \Bigg( \dfrac{-\Big(x^2+\dfrac{1}{x^2} \Big)} {2} \Bigg)dx \end{aligned} par exemple...

Posté par
jandri Correcteur
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 17:31

J'avais supposé implicitement que f était continue.

Une variante de la démonstration consiste à partir de I=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt et de faire le même changement de variable :

 Cliquez pour afficher

On obtient
 Cliquez pour afficher


On sépare en deux intégrales et on pose u=-1/x dans la seconde, cela donne l'égalité souhaitée.

Posté par
Imod
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 19:20

Il y a quand même pas mal de flou dans cet exercice . F n'est pas supposée continue et le changement de variable avec un f localement intégrable , devient vite bizarre . En plus la fonction dans la deuxième intégrale n'est pas définie en 0 . Je sais bien que la fonction à intégrer n'a pas besoin d'être définie partout de même pour la continuité , mais ...

Ma question : le problème tel qu'il est énoncé est-il vrai et si oui comment le démontrer simplement ?

Imod  

Posté par
Kernelpanic
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 19:30

Imod

j'ai trouvé cette égalité sur Internet sans de précisions sur f. Je suppose que f devait être continue. De plus, il est dit dans l'énoncé que la seconde intégrale existe, donc l'intégrale impropre en zéro existe aussi sans que f(x-1/x) ne soit définie en 0.

Posté par
jandri Correcteur
re : Une égalité entre intégrales 06-08-20 à 21:00

L'égalité entre les deux intégrales se démontre simplement par le changement de variable t=x-\dfrac1x si on suppose la continuité de f et la convergence des deux intégrales J_1=\int_{-\infty}^0 f\left(x-\dfrac1x\right)dx et J_2=\int_0^{+\infty} f\left(x-\dfrac1x\right)dx. On n'a pas besoin de supposer la convergence de I=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)dt.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !