Niveau Maths sup

Une égalité toute b^te

Posté par
elhor_abdelali 05-07-05 à 01:40

Bonjour;
x et y 2 réels est-il vrai que : $4$|x|+|y|=max(|x-y|,|x+y|)$ ?

Posté par re:Une égalité toute b^te 05-07-05 à 05:36

une réciproque:
Soit $E$ un evn réel ( -espace vectoriel normé) tel que: $\forall (x,y) \in E^2$ $||x||+||y||=max(||x-y||,||x+y||)$
montrer que $dim E =1$

Posté par re:Une égalité toute b^te 05-07-05 à 05:47

Bien entendu,pour la réciproque $E$ est supposé non nul

Posté par titimarion (invité)re : Une égalité toute b^te 05-07-05 à 11:20

Pour la première question cela semble évident si ils sont tout deux de même signe on a |x|+|y|=|x+y|
si ils sont de signes opposés on a |x|+|y|=|x-y|

Pour la réciproque il te suffit de prendre $||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2}$
Ensuite tu prends
x=(2,1) ainsi $||x||=\sqrt 5$
y=(1,0) $||y||=1$
$||x+y||=\sqrt {10}$ et $||x-y||=\sqrt 2$
On n'a ^pas égalité et ca se généralise en dimension supéreur en rajoutant des 0.
il y a certainement des exemples plus simple.

Posté par re : Une égalité toute b^te 05-07-05 à 17:02

Je crois titimarion que la réciproque n'a pas été bien comprise,il ne s'agit pas de donner un exemple de norme en dimension>1 ne vérifiant pas l'égalité mais de prouver qu'en dim>1 aucune norme ne vérifie l'égalité.

Posté par Shadyfj (invité)re : Une égalité toute b^te 05-07-05 à 18:26

elhor_abdelali le vecteur nul vérifie la réciproque quelque soit la dimension donc on ne peut pas prouver qu'en dim >1 aucune norme ne vérifie l'égalité
non??

Posté par re : Une égalité toute b^te 05-07-05 à 18:32

Mais ici il est question de "quelque soit..." donc ce n'est pas parce que c'est vérifié pour un vecteur que ca remet en cause le truc.
Sauf si c'est moi qui ai mal compris.
A+

Posté par re : Une égalité toute b^te 05-07-05 à 19:37

Pour la réciproque soient $x$ et $y$ deux vecteurs non nuls de $E$ posons $a=\frac{x}{||x||}$ et $b=\frac{y}{||y||}$ on a:
d'une part $||a+b||+||a-b||=max(2||a||,2||b||)=2$
et d'une autre $||a||+||b||=max(||a+b||,||a-b||)=2$
donc $||a+b||+||a-b||=max(||a+b||,||a-b||)$
on en déduit que $||a+b||=0$ ou $||a-b||=0$
et donc que $a=b$ ou $a=-b$
ie $x$ et $y$ linéairement dépendants $dim(E)=1$
Merci otto pour ton bon sens...

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