Bonjour  

Je ne vois  pas  comment tu fais pour trouver des fonction  exp(a x) cos(b x) comme solution.

Une solution est indéfiniment dérivable. Si on cherche  les solutions qui sont dans S(R)
leur transformée de Fourier (notée  F  )  vérifie  .  

C'est à dire  que ou encore  

Bonjour,
Pour obtenir une solution du type xexp(ax) cos(bx):
Pour f(x)= exp(ax) cos(bx) , on calcule f'(x), f(x+1) et f(x-1) en fonction de x,a et b.
On obtient:
f'(x)=a exp(ax) cos(bx) - b exp(ax) sin(bx) ,
f(x+1) = exp(a) cos(b) exp(ax) cos(bx) - exp(a) sin(b) exp(ax)sin(bx) ,
f(x-1) = exp(-a) cos(b) exp(ax) cos(bx) + exp(-a) sin(b) exp(ax) sin(bx) .
Pour que pour tout x on ait 2 f'(x)= f(x+1) -f(x-1) il faut et il suffit alors que a et b vérifient
le système
a= sinh(a) cos(b)
b= cosh(a) sin(b).
En étudiant ce système, on voit qu'il existe une infinité de couples (a,b) solutions (mais qu'on ne peut pas expliciter).
Autre façon de faire:
On cherche les fonctions f: du type
f(x)=exp(x) avec solutions de l'équation.
Pour qu'une telle fonction soit solution il faut et il suffit que 2 = exp() - exp(-)
et on est alors ramené au même système que précédemment.
Ensuite il suffit de prendre les parties réelle et imaginaires de la fonction f trouvée.

Bonjour
C'est Ok. Donc tu obtiens une famille (discrète) de solution.  

Formellement si  on considère  les fonctions de R vers C  qui sont solutions,   notons  f(z) une solution on  a  h(z)=f'(z)-1/2(f(z+1)-f(z-1))=0  pour tout z dans     

Soit  F(z)  la transformée de Fourier  de f  .  

On  a alors     

0 est racine triple de    Ensuite on peut analyser  les racines (complexes) de l'équation
On peut démontrer  que c'est un  ensemble discret , dénombrable, et chaque racine est simple.  

On retrouve alors  par Fourier  inverse  un polynôme du second  degré comme solution
(voir mon message précédent)      (solution associée à  0)  
et pour  chaque  racine   on a    solution .  

Ainsi  formellement on trouve toutes les solutions que tu as  énoncées.  

Maintenant tout ce que j'ai raconté n'est  que formel et il faut donner du sens à tout ça.
J'ai pas trop  réfléchi à cela  mais on peut au moins conjecturer qu'il n'y a pas d'autres solutions.  
  

Merci beaucoup pour tous ces éclaircissements.

Bonjour
Quel est l'origine de cet exercice?  
Si par hasard tu as une solution complète de cet exo  je suis  intéressé.

Bonjour,
Encore merci pour ces renseignements.
Ce problème vient d'une étude que j'ai faite en physiques.
Il s'agit d'une grosse boule qui se trouve dans un champ de particules microscopiques semblables à des billes.
Les particules heurtent en permanence la boule et les chocs sont supposés élastiques.
La boule oscille alors autour de sa position initiale.
Il s'agit alors de déterminer la distribution des petites vitesses de la boule.
J'ai fait de longs calculs et je suis tombé sur l'équation
f''(t) + 2 f(t) = f(t+1) + f(t-1)
L'équation  2f'(t) = f(t+1) -  f(t-1) que je t'ai proposé est apparentée en quelque sorte à
l'équation précédente.
Si on sait résoudre la deuxième équation on pourra probablement résoudre la première.
A part cela, il s'agit d'un travail en physiques assez secret et je préfère ne pas en dire plus.
Merci encore.

Oui alors c'est le même principe.  

Attention  dans mon message précédent j'ai oublié i  dans la solution.  
  (et  non  )
  
Pour ton second problème l'équation "caractéristique" est  :

    

Cela veut dire que f doit vérifier h(z) F(z)=0.  


Pour chaque racine simple   de h  correspond une solution dont la transformée est un Dirac en   autrement dit par Fourier inverse tu as une solution de la forme

salut

je n'étais pas intervenu car j'ai vu des experts et n'étais absolument pas capable de faire mieux ...

Bonsoir.
Merci d'abord pour  ces compléments d'information.
Quant au lien entre les deux équations ce n'est pas compliqué.
Voici le lien:
Soit  f une fonction   qui vérifie:
t,
2 f'(t) = f(t+1) - f(t-1) .
Soit g la fonction définie par g(t)=f(2t).
Alors t  f(t)=g(t/2) .
Donc pour tout réel t,
f'(t) =(1/2)* g'(t/2)   soit 2 f'(t) = g'(t/2) ;
f(t+1) - f(t-1) = g(t/2 + 1/2) - g(t/2 - 1/2) .
Ainsi la fonction g vérifie:
t  ,
g'(t/2) = g(t/2 + 1/2) - g(t/2 - 1/2) .
Autrement dit , t ,
g'(t) = g(t + 1/2) - g(t - 1/2) .
En dérivant on obtient:
t,
g''(t) = g' (t + 1/2) - g' (t -1/2)
soit  g'' (t) = ( g(t + 1) - g(t)) - (g(t) - g(t -1))
                        = g(t + 1) + g(t - 1) - 2 g(t) .
D'où  t,
  g'' (t) + 2 g(t) = g(t + 1) + g(t -1) .
g vérifie donc l'autre équation.