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une équation fonctionnelle

Posté par
gregocool
15-09-20 à 14:51

Bonjour!
Je cherche à résoudre l'équation fonctionnelle (d'inconnue f):
2 f'(x) = f(x+1) - f(x-1)

Je sais déjà que l'ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des fonctions de dans .
Je sais aussi que si f est solution, alors f' aussi.
Je sais aussi que si f est solution alors toute fonction du type
xf(x+r) avec r est aussi solution.
J'ai déjà trouvé les solutions x1 , xx
et xx2
ainsi  que des solutions du type xexp(ax)cos(bx) et du type
xexp(ax)sin(bx) avec a et b réels bien choisis.
Et toutes les combinaisons linéaires de ces précédentes solutions sont alors aussi solutions.
Mais ce que je veux savoir c'est s'il s'agit alors de toutes les solutions de l'équation considérée.
Comment pourrai-je faire?

Posté par
XZ19
re : une équation fonctionnelle 15-09-20 à 17:28

Bonjour  

Je ne vois  pas  comment tu fais pour trouver des fonction  exp(a x) cos(b x) comme solution.

Une solution est indéfiniment dérivable. Si on cherche  les solutions qui sont dans S(R)
leur transformée de Fourier (notée  F  )  vérifie  F(t)*(t-sin(t))=0.  

C'est à dire  que F=a\delta_0+b\delta'_0+c \delta''_0 ou encore  f(x)=a+bx +cx^2

Posté par
gregocool
re : une équation fonctionnelle 15-09-20 à 21:21

Bonjour,
Pour obtenir une solution du type xexp(ax) cos(bx):
Pour f(x)= exp(ax) cos(bx) , on calcule f'(x), f(x+1) et f(x-1) en fonction de x,a et b.
On obtient:
f'(x)=a exp(ax) cos(bx) - b exp(ax) sin(bx) ,
f(x+1) = exp(a) cos(b) exp(ax) cos(bx) - exp(a) sin(b) exp(ax)sin(bx) ,
f(x-1) = exp(-a) cos(b) exp(ax) cos(bx) + exp(-a) sin(b) exp(ax) sin(bx) .
Pour que pour tout x on ait 2 f'(x)= f(x+1) -f(x-1) il faut et il suffit alors que a et b vérifient
le système
a= sinh(a) cos(b)
b= cosh(a) sin(b).
En étudiant ce système, on voit qu'il existe une infinité de couples (a,b) solutions (mais qu'on ne peut pas expliciter).
Autre façon de faire:
On cherche les fonctions f: du type
f(x)=exp(x) avec solutions de l'équation.
Pour qu'une telle fonction soit solution il faut et il suffit que 2 = exp() - exp(-)
et on est alors ramené au même système que précédemment.
Ensuite il suffit de prendre les parties réelle et imaginaires de la fonction f trouvée.

Posté par
XZ19
re : une équation fonctionnelle 15-09-20 à 23:13

Bonjour
C'est Ok. Donc tu obtiens une famille (discrète) de solution.  

Formellement si  on considère  les fonctions de R vers C  qui sont solutions,   notons  f(z) une solution on  a  h(z)=f'(z)-1/2(f(z+1)-f(z-1))=0  pour tout z dans \C     

Soit  F(z)  la transformée de Fourier  de f  .  

On  a alors   (sin(z)-z)F(z)=0.  

0 est racine triple de  sin(z)-z.  Ensuite on peut analyser  les racines (complexes) de l'équation sin(z)-z=0.  
On peut démontrer  que c'est un  ensemble discret , dénombrable, et chaque racine est simple.  

On retrouve alors  par Fourier  inverse  un polynôme du second  degré comme solution
(voir mon message précédent)      (solution associée à  0)  
et pour  chaque  racine  z_k\neq 0 on a  f(x)=exp(z_k x)  solution .  

Ainsi  formellement on trouve toutes les solutions que tu as  énoncées.  

Maintenant tout ce que j'ai raconté n'est  que formel et il faut donner du sens à tout ça.
J'ai pas trop  réfléchi à cela  mais on peut au moins conjecturer qu'il n'y a pas d'autres solutions.  
  

Posté par
gregocool
re : une équation fonctionnelle 16-09-20 à 12:22

Merci beaucoup pour tous ces éclaircissements.

Posté par
XZ19
re : une équation fonctionnelle 16-09-20 à 12:56

Bonjour
Quel est l'origine de cet exercice?  
Si par hasard tu as une solution complète de cet exo  je suis  intéressé.

Posté par
gregocool
re : une équation fonctionnelle 16-09-20 à 17:34

Bonjour,
Encore merci pour ces renseignements.
Ce problème vient d'une étude que j'ai faite en physiques.
Il s'agit d'une grosse boule qui se trouve dans un champ de particules microscopiques semblables à des billes.
Les particules heurtent en permanence la boule et les chocs sont supposés élastiques.
La boule oscille alors autour de sa position initiale.
Il s'agit alors de déterminer la distribution des petites vitesses de la boule.
J'ai fait de longs calculs et je suis tombé sur l'équation
f''(t) + 2 f(t) = f(t+1) + f(t-1)
L'équation  2f'(t) = f(t+1) -  f(t-1) que je t'ai proposé est apparentée en quelque sorte à
l'équation précédente.
Si on sait résoudre la deuxième équation on pourra probablement résoudre la première.
A part cela, il s'agit d'un travail en physiques assez secret et je préfère ne pas en dire plus.
Merci encore.

Posté par
XZ19
re : une équation fonctionnelle 16-09-20 à 20:10

Oui alors c'est le même principe.  

Attention  dans mon message précédent j'ai oublié i  dans la solution.  
f_k(x)=exp( i z_kx )  (et  non  f_k(x)=exp(  z_k x ))
  
Pour ton second problème l'équation "caractéristique" est  :

h(z)= 2 - z^2 - 2\cos(z)    

Cela veut dire que f doit vérifier h(z) F(z)=0.  


Pour chaque racine simple z_k  de h  correspond une solution dont la transformée est un Dirac en  z_k autrement dit par Fourier inverse tu as une solution de la forme exp (i z_k x)

Posté par
carpediem
re : une équation fonctionnelle 16-09-20 à 21:19

salut

je n'étais pas intervenu car j'ai vu des experts et n'étais absolument pas capable de faire mieux ...

Citation :
J'ai fait de longs calculs et je suis tombé sur l'équation
f''(t) + 2 f(t) = f(t+1) + f(t-1)
L'équation  2f'(t) = f(t+1) -  f(t-1) que je t'ai proposé est apparentée en quelque sorte à
l'équation précédente.
je ne vois pas le lien entre les deux équations ...

mais la première me fais penser à f''(t) = \dfrac { \dfrac {f(t + h) - f(t)} h - \dfrac {f(t) -f(t - h)} h}{2h} (ou un truc du genre) mais dicrétiser en prenant h = 1 ...

Posté par
gregocool
re : une équation fonctionnelle 17-09-20 à 00:26

Bonsoir.
Merci d'abord pour  ces compléments d'information.
Quant au lien entre les deux équations ce n'est pas compliqué.
Voici le lien:
Soit  f une fonction   qui vérifie:
t,
2 f'(t) = f(t+1) - f(t-1) .
Soit g la fonction définie par g(t)=f(2t).
Alors t  f(t)=g(t/2) .
Donc pour tout réel t,
f'(t) =(1/2)* g'(t/2)   soit 2 f'(t) = g'(t/2) ;
f(t+1) - f(t-1) = g(t/2 + 1/2) - g(t/2 - 1/2) .
Ainsi la fonction g vérifie:
t  ,
g'(t/2) = g(t/2 + 1/2) - g(t/2 - 1/2) .
Autrement dit , t ,
g'(t) = g(t + 1/2) - g(t - 1/2) .
En dérivant on obtient:
t,
g''(t) = g' (t + 1/2) - g' (t -1/2)
soit  g'' (t) = ( g(t + 1) - g(t)) - (g(t) - g(t -1))
                        = g(t + 1) + g(t - 1) - 2 g(t) .
D'où  t,
  g'' (t) + 2 g(t) = g(t + 1) + g(t -1) .
g vérifie donc l'autre équation.

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