Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Une étrange propriété
Bonsoir 
Prenons le nombre 18.
Ses diviseurs sont 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Chacun de ces diviseurs a lui même un certain nombre de diviseurs :
1 a 1 diviseur,
2 a 2 diviseurs,
3 a 2 diviseurs,
6 a 4 diviseurs,
9 a 3 diviseurs,
18 a 6 diviseurs.
Cette suite d'entiers 1, 2, 2, 4, 3, 6 a une étrange propriété :
13 + 23 + 23 + 43 + 33 + 63 = (1 + 2 + 2 + 4 + 3 + 6)²
Au lieu de 18 prenons 24.
Les diviseurs de 24 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.
ces diviseurs ont respectivement :
1, 2, 2, 3, 4, 4, 6, et 8 diviseurs.
On a encore :
13 + 23 + 23 + 33 + 43 + 43 + 63 + 83 = (1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 6 + 8)²
Par quel autre nombre aurais-je pu remplacer 18 ou 24 ?
Bonne réflexion !
Cordialement
Frenicle
Cliquez pour afficher
et j'essaye de donner une réponse demain
Bonjour
Voici la réponse :
Cette propriété est valable pour tout entier, comme l'a découvert Liouville.
Soit n un entier et d1, ..., dk ses diviseurs.
Notons 
(m) le nombre de diviseurs de m.
Alors
[(d1) + ... + (dk)]² = (d1)3 + ... + (dk)3
Par exemple, si n = ps est une puissance d'un nombre premier, les diviseurs de n sont 1, p, p², ..., ps.
Ces diviseurs ont respectivement 1, 2, ..., n + 1 diviseurs, et le théorème de Liouville s'écrit dans ce cas :
[1 + 2 + ... + (n + 1)]² = 13 + 23 + ... + (n + 1)3.
Cordialement
Frenicle
Oups, je voulais dire :
Par exemple, si n = ps est une puissance d'un nombre premier, les diviseurs de n sont 1, p, p², ..., ps.
Ces diviseurs ont respectivement 1, 2, ..., s + 1 diviseurs, et le théorème de Liouville s'écrit dans ce cas :
[1 + 2 + ... + (s + 1)]² = 13 + 23 + ... + (s + 1)3.
Annuler
connectez vous