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Niveau maths sup
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Une famille libre

Posté par
KrnT
06-04-21 à 13:57

Bonjour/Bonsoir,
Je viens de rencontrer un exercice où il est demandé de montrer que la famille est libre, j'ai lu son corrigé toutefois je n'arrive pas à comprendre une notion qui défie mes connaissances en mathématiques :
Enoncé :
Soient n∈N∗,(a1,...,an)∈Rn tels  que  a_1<...<a_n.La  famille  d'applications(fai) :
Montrer que (fai) : R−{a_1,...,a_n} ----> R avec x---->\dfrac{1}{x-a_i}
Dans son corrigé :
Soit (λ1,...,λn)∈R n tel que .On a donc :\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}
Isolons, par exemple, le terme d'indice n, et exprimons \lambda _n:
\lambda _n=-(x-a_n)\sum_{i=1}^{n-1}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}
Comme (a1,...a_n−1) sont tous différents de an,pour chaque i ∈ {1,...,n−1} \dfrac{\lambda _i}{x-a_i} admet une limite finie lorsque x tend vers an -(x-a_n)\sum_{i=1}^{n-1}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}\rightarrow_{x\rightarrow a_n} 0 d'où \lambda _n=0
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'avoir fait tendre vers an alors que an est une valeur interdite or qui n'existe pas

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:00

Bonjour,
Je ne vois pas ce qu'il faut démontrer.
Que la famille des fai est libre ?

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:00

Oui, désolé de ne pas avoir eu été clair

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:02

Il faut faire "Aperçu" avant de poster.
Il manque la moitié des phrases :

Citation :
Soit (λ1,...,λn)∈R n tel que .On a donc

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:08

Désolé j'ai un peu de mal avec le LATEX :
Soit (λ1,...,λn)∈R n tel que \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}} =0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:17

En notant S la somme des ifai, on cherche de deux manières la limite en an de la fonction S.
Chercher une limite qui annule un dénominateur n'est pas interdit.
an est un réel ; il existe !

Un exemple : g(x) = 7/(x-2) + 5/(x-3). On peut chercher la limite en 3 par valeur supérieures, ou par valeurs inférieures.

Dans ta démonstration, S est aussi la fonction nulle. Donc de limite nulle en an.

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:20

On peut rechercher une limite qui tend vers un réel malgré le fait que ce réel ne soit pas dans l'ensemble ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:25

Bon, je n'ai pas suivi ce que tu avais écrit pour la démonstration, c'est à dire isoler n.
Il manque des " pour tout x de " dans ce que tu as écrit.
n = .... pour tout x différents des ai.
Les pointillés à droite du = correspondent à une fonction constante sur privé des ai. Constante égale à n.
Si tu démontres que ce membre de droite a pour limite 0 en an, tu peux en déduire que la constante est nulle.

Je ne vais plus être disponible.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:27

KrnT @ 06-04-2021 à 14:20

On peut rechercher une limite qui tend vers un réel malgré le fait que ce réel ne soit pas dans l'ensemble ?
Oui, voir mon exemple.
Ou aussi (x2-3x+2)/(x-1) en 1.

Posté par
carpediem
re : Une famille libre 06-04-21 à 14:31

salut

ce que tu as oublié c'est que tu as affaire à une famille de fonctions définies sur un ensemble (partie de R)

ta somme est donc une fonction définie sur un ensemble E (son ensemble de définition que tu peux choisir maximal)

et alors il ne faut pas oublier le quantificateur : \forall x \in ...  :  f(x) = ...

et avec cette fonction tu peux faire ... tout ce que tu fais usuellement avec des fonctions : dérivée, limite, ...

ici l'utilisation des limites en une "valeur interdite" permet d'obtenir immédiatement les scalaires coefficients des f_{a_k}



PS : une autre façon de faire serait de prendre n valeurs différentes des "valeurs intrdites" et de résoudre un système ... monstrueux ...

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 06-04-21 à 15:22

Merci infiniment à vous deux !!

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 16:20

Sinon, il y a ceci, une autre formulation

\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}=0\iff \prod_{j=1}^n(x-a_j)\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}=0\iff \sum_{i=1}^n\lambda_i\prod_{\substack{1\le j\le n\\ j\ne i}}(x-a_j)=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 16:24

Oui, mais on en fait quoi après ?

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 16:28

KrnT

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'avoir fait tendre vers an alors que an est une valeur interdite or qui n'existe pas


Si tu peux, par exemple la fonction x\in \R^*\longmapsto \dfrac{0}{x}\in \R n'est pas définie en 0 et possède pourtant une limite en 0

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 16:32

Sylvieg @ 06-04-2021 à 16:24

Oui, mais on en fait quoi après ?


on évalue en a_i et ça donne :

\lambda_i\underbrace{\prod_{\substack{1\le j\le n\\j\ne i}}(a_i-a_j)}_{\ne 0}=0

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 16:42

D'accord, car les autres termes de la somme sont nuls.
Le verbe "évaluer " me chiffonne un peu cependant

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 17:00

tu penses à quoi, je ne vois pas...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une famille libre 06-04-21 à 17:27

Les égalités de 16h20 ne sont écrites que pour x distinct de tous les ai.

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 17:54

\begin{array}{ll}\forall x\in \R\backslash\{a_k\}_{k=1}^n,\quad \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}=0&\textcolor{red}{\implies} \forall x\in \R,  \prod_{j=1}^n(x-a_j)\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}=0\\&\iff \sum_{i=1}^n\lambda_i\prod_{\substack{1\le j\le n\\ j\ne i}}(x-a_j)=0\end{array}

Là c'est mieux, il me semble

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 17:57

\begin{array}{ll}\forall x\in \R\backslash\{a_k\}_{k=1}^n,\quad \sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}=0&\iff \forall x\in \R\backslash\{a_k\}_{k=1}^n,\quad  \prod_{j=1}^n(x-a_j)\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}=0\\&\textcolor{red}{\implies}  \forall x\in \R,\quad \sum_{i=1}^n\lambda_i\prod_{\substack{1\le j\le n\\ j\ne i}}(x-a_j)=0\end{array}

Je corrige de nouveau

Posté par
matheuxmatou
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:31

bonsoir

j'avoue que je ne comprends pas bien la longueur de ce fil

pourquoi ne pas appliquer la méthode usuelle des développements en éléments simples ?

f(x)=\sum_{i=1}^{n}{\dfrac{\lambda _i}{x-a_i}}

la limite quand x tend vers ai de (x-ai)f(x) vaut i

... et comme f est la fonction nulle sur son ensemble de définition...

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:35

ben si la longueur s'explique facilement, chacun donne sa version, et tout le monde sait que plus c'est long plus c'est bon

Posté par
matheuxmatou
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:37

KrnT @ 06-04-2021 à 14:20

On peut rechercher une limite qui tend vers un réel malgré le fait que ce réel ne soit pas dans l'ensemble ?


je pense que une fois arrivé en math sup, tu as quand même dû souvent calculer des limites aux bornes d'une ensemble de définition

la limite en 0 de la fonction inverse, tu n'as jamais rencontré ?????

Posté par
matheuxmatou
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:38

mousse42

je suis sûr qu'on peut encore trouver plus compliqué

je m'étonne quand même qu'un étudiant de math sup se pose la question de savoir si on peut calculer une limite en une borne exclue d'un ensemble de définition !

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:39

Moment d'inattention desole

Posté par
matheuxmatou
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:42

certes, mais vu tes posts et les remarques que tu fais, je crois qu'il faut se ressaisir

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:45

Remarque prise en compte, mes posts sont surtout faits pour combler des lacunes et avoir une vision plus claire.

Posté par
matheuxmatou
re : Une famille libre 06-04-21 à 23:46

bien sûr, tu as raison de demander en cas de doute

Posté par
mousse42
re : Une famille libre 07-04-21 à 00:09

matheuxmatou @ 06-04-2021 à 23:38

mousse42

je suis sûr qu'on peut encore trouver plus compliqué

je m'étonne quand même qu'un étudiant de math sup se pose la question de savoir si on peut calculer une limite en une borne exclue d'un ensemble de définition !


ah non, tu ne peux pas dire ça, de plus ma solution prépare KrnT aux polynômes de Lagrange

Posté par
carpediem
re : Une famille libre 07-04-21 à 08:28

une remarque en passant :

KrnT @ 06-04-2021 à 13:57


Comme (a1,...a_n−1) sont tous différents de an,
ceci ne veut rien dire

Posté par
KrnT
re : Une famille libre 07-04-21 à 11:03

carpediem @ 07-04-2021 à 08:28

une remarque en passant :

KrnT @ 06-04-2021 à 13:57


Comme (a1,...a_n−1) sont tous différents de an,
ceci ne veut rien dire

Cette démonstration figure dans son corrigé

Posté par
carpediem
re : Une famille libre 07-04-21 à 12:20

certes mais ça ne veut rien dire : le sujet du verbe "sont" est au singulier : c'est un (n - 1)-uplet ...



et ce (n - 1)-uplet est évidemment différent du scalaire a_n quand bien même le scalaire a_n apparaitrait dans le (n - 1)-uplet ...



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