Bonjour/Bonsoir,
Je viens de rencontrer un exercice où il est demandé de montrer que la famille est libre, j'ai lu son corrigé toutefois je n'arrive pas à comprendre une notion qui défie mes connaissances en mathématiques :
Enoncé :
Soient n∈N∗,(a1,...,an)∈Rn tels que .La famille d'applications(fai) :
Montrer que (fai) : R− ----> R avec x---->
Dans son corrigé :
Soit (λ1,...,λn)∈R n tel que .On a donc :
Isolons, par exemple, le terme d'indice n, et exprimons :
=
Comme (a1,...a_n−1) sont tous différents de an,pour chaque i ∈ {1,...,n−1} admet une limite finie lorsque x tend vers an d'où =0
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'avoir fait tendre vers an alors que an est une valeur interdite or qui n'existe pas
Il faut faire "Aperçu" avant de poster.
Il manque la moitié des phrases :
En notant S la somme des ifai, on cherche de deux manières la limite en an de la fonction S.
Chercher une limite qui annule un dénominateur n'est pas interdit.
an est un réel ; il existe !
Un exemple : g(x) = 7/(x-2) + 5/(x-3). On peut chercher la limite en 3 par valeur supérieures, ou par valeurs inférieures.
Dans ta démonstration, S est aussi la fonction nulle. Donc de limite nulle en an.
On peut rechercher une limite qui tend vers un réel malgré le fait que ce réel ne soit pas dans l'ensemble ?
Bon, je n'ai pas suivi ce que tu avais écrit pour la démonstration, c'est à dire isoler n.
Il manque des " pour tout x de " dans ce que tu as écrit.
n = .... pour tout x différents des ai.
Les pointillés à droite du = correspondent à une fonction constante sur privé des ai. Constante égale à n.
Si tu démontres que ce membre de droite a pour limite 0 en an, tu peux en déduire que la constante est nulle.
Je ne vais plus être disponible.
salut
ce que tu as oublié c'est que tu as affaire à une famille de fonctions définies sur un ensemble (partie de R)
ta somme est donc une fonction définie sur un ensemble E (son ensemble de définition que tu peux choisir maximal)
et alors il ne faut pas oublier le quantificateur :
et avec cette fonction tu peux faire ... tout ce que tu fais usuellement avec des fonctions : dérivée, limite, ...
ici l'utilisation des limites en une "valeur interdite" permet d'obtenir immédiatement les scalaires coefficients des
PS : une autre façon de faire serait de prendre n valeurs différentes des "valeurs intrdites" et de résoudre un système ... monstrueux ...
D'accord, car les autres termes de la somme sont nuls.
Le verbe "évaluer " me chiffonne un peu cependant
bonsoir
j'avoue que je ne comprends pas bien la longueur de ce fil
pourquoi ne pas appliquer la méthode usuelle des développements en éléments simples ?
la limite quand x tend vers ai de (x-ai)f(x) vaut i
... et comme f est la fonction nulle sur son ensemble de définition...
ben si la longueur s'explique facilement, chacun donne sa version, et tout le monde sait que plus c'est long plus c'est bon
mousse42
je suis sûr qu'on peut encore trouver plus compliqué
je m'étonne quand même qu'un étudiant de math sup se pose la question de savoir si on peut calculer une limite en une borne exclue d'un ensemble de définition !
Remarque prise en compte, mes posts sont surtout faits pour combler des lacunes et avoir une vision plus claire.
une remarque en passant :
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