Bonsoir gdi.
Quelle est la définition d'une fonction Lebesgue-mesurable ?

je pense que c'est une fonction dont l'image réciproque d'un lebesgue mesurable est lebesgue mesurable. D'un autre côté, on a toujours fait comme si les fonctions continues étaient lebesgue mesurabe, ce qui me trouble.

Exactement.
Une fonction est Lebesgue-mesurable si et seulement si tout élément de la tribu de Lebesgue sur est un élément de la tribu de Lebesgue sur .

Or, qu'est-ce-que la tribu de Lebesgue sur sinon la complétée de la tribu de Borel sur , de même sur .

Qu'est-ce-que la tribu de Borel sur un espace topologique ? La tribu engendrée par ses ouverts.
Donc un borélien est un élément de la tribu de Lebesgue.

Or, par hypothèse, f est continue. Donc, l'image réciproque de tout ouvert de est un ouvert de .

Par suite, et en vertu des propriété des images réciproques, l'image réciproque de tout borélien de est un borélien de .

Le passage délicat consiste à montrer que l'image réciproque de tout ensemble Lebesgue-mesurable est Lebesgue-mesurable. Il ne s'agira que des éléments de la tribu de Lebesgue qui ne sont pas dans la tribu de Borel.

Là, il faut admettre ceci :

DÉFINITION :
Une fonction est dite mesurable si elle l'est pour la tribu de Lebesgue sur est celle de Borel sur

PROPOSITION
1/ Les fonctions borélienne et les fonctions nulle p.p. sont mesurables
2/ Toute fonction mesurable est la somme d'une fonction borélienne est d'une fonction nulle p.p.

Cette proposition montre qu'on ne perd rien à travailler exclusivement avec des boréliennes.

Si tu veux la démo, je te la mets !

merci pour votre réponse! j'ai réussi à faire la démo

bonne journée