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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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une fonction sur adh(A) restreinte sur A

Posté par
maxxiiime
18-10-20 à 16:46

Bonjour à vous,
J'ai un problème dans cet exercice, si quelqu'un peut m'aider :
Soit (X,d) un espace métrique, A⊂X et f:A→R une fonction quelconque
Je dois montrer que si g:Adh(A) est continue telle que g|A=f, alors g est unique.
Je ne sais pas trop comment procéder, je veux faire comme ceci :
Je suppose que il existe g et g' continues sur Adh(A) dans telles que  g|A=f et g'|A=f et aboutir à une contradiction, mais je ne sais pas trop quoi dire pour que cette contradiction arrive...
Merci d'avance.
Cordialement

Posté par
luzak
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 18-10-20 à 17:02

Tu peux remarquer que tout point de \overline{A} est limite d'une suite de points de A et utiliser la continuité de g et l'unicité d'une limite

Posté par
maxxiiime
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 18-10-20 à 17:04

ok alors je pose g et h (plutot que g') qui vont de Adh(A) dans tels que g|A= f et hA=f
On veut montrer que g=h
Or g|A=h|A donc il reste à montrer que g|Fr(A)=h|Fr(A)
Je sens que la continuité va faire le travail mais je ne sais pas comment embrayer...

Posté par
maxxiiime
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 18-10-20 à 17:07

Tout point de Adh(A) est bien limite d'une suite de point de A par définition de l'adhérence. En revanche je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "utiliser la continuité de g". Il faut que je dise que g est continue et toute suite Xn d'éléments de A qui converge, converge vers un élément de Adh(A), mais cela donne juste que la limite g(X) de g(Xn) existe par continuité ?

Posté par
etniopal
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 18-10-20 à 17:28

On veut montrer qu'ou bien f n'a pas de prolongement continu à \bar{R}    
    ou bien  , s'il y en a , il n'y en a qu'un .

On suppose donc que g et h sont  des prolongements continus de f   à \bar{R}  et on montre que f(x) = g(x) pour tout x de  \bar{R}  .
C'est vrai si x  est dans A et si x \bar{R} \ A  il existe une suite (au moins)  u : A telle que u converge vers a .
Pour tout n on a donc g(u(n)) = h(u(n))  et la continuite de g et h implique qu'on a g(x) = h(x) .

Posté par
etniopal
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 18-10-20 à 17:30

  **Remplacer \bar{R}  par   \bar{A}  

Posté par
maxxiiime
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 18-10-20 à 17:43

Ok, c'est plus clair, merci.
On prend une suite (Xn) d'éléments de A qui converge. Elle converge vers X Adh(A) par définition.
Ainsi, pour tout n, h(Xn)=g(Xn) car on parle de Xn qui sont dans A.Par passage à la limite avec des fonctions continues que sont g et h, on peut directement affirmer que g(lim Xn)= h(lim Xn) selon ce que vous dites ?
Ou il faut le démontrer ?

Je connais le théorème qui dit que :
Soit f continue sur X et Un une suite d'éléments de X qui converge vers L
Alors on a que lim (f(Un))=f(L) avec une limite unique.
Merci

Posté par
luzak
re : une fonction sur adh(A) restreinte sur A 19-10-20 à 08:03

Citation :
mais cela donne juste que la limite g(X) de g(Xn) existe par continuité ?

Pas seulement, si tu remarques que x_n\in A de sorte que g(x_n)=f(x_n) et la limite g(a) est celle de la suite (qui ne dépend pas de g) n\mapsto f(x_n).

..........................
Comme tu prends des fonctions à valeurs réelles il y a même plus simple.
Si g,h sont deux solutions alors g-h est continue sur \overline A, nulle sur A.
Il suffit alors de savoir que l'image réciproque de \{0\} par g-h est un fermé qui contient  A donc contient l'adhérence de A

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