Inscription / Connexion Nouveau Sujet
une fonction sur adh(A) restreinte sur A
Bonjour à vous,
J'ai un problème dans cet exercice, si quelqu'un peut m'aider :
Soit (X,d) un espace métrique, A⊂X et f:A→R une fonction quelconque
Je dois montrer que si g:Adh(A)
est continue telle que g|A=f, alors g est unique.
Je ne sais pas trop comment procéder, je veux faire comme ceci :
Je suppose que il existe g et g' continues sur Adh(A) dans telles que g|A=f et g'|A=f et aboutir à une contradiction, mais je ne sais pas trop quoi dire pour que cette contradiction arrive...
Merci d'avance.
Cordialement
Tu peux remarquer que tout point de est limite d'une suite de points de
et utiliser la continuité de
et l'unicité d'une limite
ok alors je pose g et h (plutot que g') qui vont de Adh(A) dans tels que g|A= f et hA=f
On veut montrer que g=h
Or g|A=h|A donc il reste à montrer que g|Fr(A)=h|Fr(A)
Je sens que la continuité va faire le travail mais je ne sais pas comment embrayer...
Tout point de Adh(A) est bien limite d'une suite de point de A par définition de l'adhérence. En revanche je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "utiliser la continuité de g". Il faut que je dise que g est continue et toute suite Xn d'éléments de A qui converge, converge vers un élément de Adh(A), mais cela donne juste que la limite g(X) de g(Xn) existe par continuité ?
On veut montrer qu'ou bien f n'a pas de prolongement continu à
ou bien , s'il y en a , il n'y en a qu'un .
On suppose donc que g et h sont des prolongements continus de f à et on montre que f(x) = g(x) pour tout x de
.
C'est vrai si x est dans A et si x 
il existe une suite (au moins) u :
A telle que u converge vers a .
Pour tout n on a donc g(u(n)) = h(u(n)) et la continuite de g et h implique qu'on a g(x) = h(x) .
Ok, c'est plus clair, merci.
On prend une suite (Xn) d'éléments de A qui converge. Elle converge vers X Adh(A) par définition.
Ainsi, pour tout n, h(Xn)=g(Xn) car on parle de Xn qui sont dans A.Par passage à la limite avec des fonctions continues que sont g et h, on peut directement affirmer que g(lim Xn)= h(lim Xn) selon ce que vous dites ?
Ou il faut le démontrer ?
Je connais le théorème qui dit que :
Soit f continue sur X et Un une suite d'éléments de X qui converge vers L
Alors on a que lim (f(Un))=f(L) avec une limite unique.
Merci
mais cela donne juste que la limite g(X) de g(Xn) existe par continuité ?
Pas seulement, si tu remarques que
..........................
Comme tu prends des fonctions à valeurs réelles il y a même plus simple.
Si
Il suffit alors de savoir que l'image réciproque de
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac