Bonsoir,

Les fonctions f(x) = log_a(x)² avec a>1 vérifient cette relation. Peut-il y en avoir d'autres ?

Bonjour,

Il y a d'autres solutions!
Mais je n'aurais sans doute pas résolu ce joli problème si je n'avais pas suivi les épisodes précédents

Bonjour jandri !

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En fait j'ai trouvé cette équation fonctionnelle sur un autre forum et j'ai été amené à appliquer le lemme de Baire pour prouver que
ses solutions sont les fonctions : .

Et à vrai dire je ne sais pas si on peut y arriver autrement _{sauf erreur bien entendu}

Bonjour Elhor,

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Je n'ai pas utilisé le lemme de Baire.
J'ai d'abord montré que f est continue en x=1 , puis pour x>1 , puis que f est dérivable pour x>1.
Mais ensuite je n'ai pas trouvé d'équation différentielle vérifiée par f (ni par f ).
J'ai alors fait le rapport avec ce que j'ai cru être "l'épisode précédent":
Une équation fonctionnelle.
Pour cette équation (qui est équivalente) on obtient une équation différentielle classique y''=a*y qui donne les solutions!

Bonjour jandri !

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Comment tu montres alors la dérivabilité de en

Bonsoir Elhor,

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Je montre la dérivabilité sur l'équation: avec et h 0; (on montre facilement que h est strictement croissante et que h est continue).
En posant t=x+y et u=x-y on obtient:
.

Pour tout a>0: puisque h est strictement croissante.

Donc qui donne la dérivabilité pour t>a et donc pour tout t>0.

Bonsoir jandri ;

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En effet tu as de cette manière la dérivabilité de sur et tu évites l'étude de la dérivabilité en !!

avec ce que tu as fait je crois que tu as même la classe sur et de là on peut aboutir à constante sur

ce qui permet de trouver une expression analytique de pour donc aussi pour par continuité et pour par imparité .

Je crois que c'est bon !

Mais j'ai encore une question :

Comment tu résouds le cas général , continue ,

Bonjour Elhor,

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Je ne l'avais pas précisé sur mon dernier message mais la formule qui donne la dérivabilité de h entraine que h est de classe C pour x>0.
Si on suppose h continue de dans c'est la même chose mais en plus simple car on n'a pas à montrer la continuité!
En considérant il y a deux cas:
soit H est nulle et on déduit que h est nulle sur .
soit il existe a tel que H(a)0 qui entraine que est de classe C¹ puis C sur .
En dérivant par rapport à x puis par rapport à y on obtient h''= h qui donne les solutions : .

Bonsoir jandri ;

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Et bien bravo !! C'est une preuve qui me paraît tout à fait correcte

As tu un exemple d'une solution non continue ? _{question facultative}

Waouw c'est impréssionnant tout ce que vous savez en maths

Bonsoir olive_68

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Ne t'inquiètes pas ça va venir !!

Bonsoir elhor_abdelali,

Oui j'éspère bien, il va en falloir des heures et des heures de travail avant ^^ surtout quand j'écoute les professeurs qui nous disent que en prépa au début on se tape des 2 alors qu'on était premier de la classe en Ts sa fait peur.