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Niveau autre
une histoire de poulets
Posté par letonio
Bonjour tout le monde,
Je me mets au proba pour préparer ma rentrée, et j'ai des petits soucis...
Une population de poussins compte n+1 mâles et n-1 femelles. (n sup ou égal à 1).
On choisit simultanément au hasard deux poussins.
a) Calculer en fonciton de n la proba pour qu'ils soient de sexe différent.
b) Trouver n pour que cette proba soit maximum.
Je vous livre mes réflexions.
Il y a 2n poulets. Le nombre de combinaisons possibles est:
(2n(2n-1))/2= 2n^2-n
M "il y a 2 mâles" F "il y a deux femelles"
A "ils sont de sexe différent"
combinaisons de mâles possibles:
n(n+1)/2
" " femelles "
(n-1)(n-2)/2
donc P(M)= (n^2 +n)/ (4n^2-2n) = (n+1)/(4n-2)
P(F)= (n^2-3n+2)/(2n(2n-1))
P(A barre)= P(M)+ P(F)= (n^2-1)/(2n^2-n)
et P(A)= 1-P(A barre)= (n^2-n+1)/(2n^2-n)
J'ai essayé à partir de là d'étudier la suite en passant par une fonction, mais ça ne donne rien de concluant. Je suppose donc que mon raisonnement n'était pas correct jusque là. Pourriez-vous m'indiquer où je me suis trompé?
Les proba et moi, cela fait 2, alors méfiance.
J'aurais fait ceci:
poussin 1:
proba d'être mâle: (n+1)/(n+1+n-1) = (n+1)/(2n)
poussin 2:
proba d'être femelle alors que le poussin 1 a été mâle: (n-1)/(n+1+n-1-1) = (n-1)/(2n-1)
--> proba de choisir dans l'ordre 1 mâle puis 1 femelle = [(n+1)/(2n)]*[(n-1)/(2n-1)] = (n²-1)/(2n(2n-1))
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poussin 1:
proba d'être femelle: (n-1)/(n+1+n-1) = (n-1)/(2n)
poussin 2:
proba d'être mâle alors que le poussin 1 a été femelle: (n+1)/(n+1+n-1-1) = (n+1)/(2n-1)
--> proba de choisir dans l'ordre 1 femelle puis 1 mâle = [(n-1)/(2n)]*[(n+1)/(2n-1)] = (n²-1)/(2n(2n-1))
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Proba d'avoir un mâle et une femelle (quel que soit l'ordre de tirage) = 2.(n²-1)/(2n(2n-1))
Etude fonction --> Le max se trouve vers n = 4, soit lorsqu'il y a 8 poussins au total (5 mâles et 3 femelles).
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Posté par Laety (invité)re : une histoire de poulets
Bonjour,
Avec un raisonnement différent, passant par les combinaisons, j'arrive au même résultat que toi, J-P.
Pour avoir la proba p(A), il faut faire le rapport : nombre de cas favorables/nombre total de possiblités.
Nombre de cas favorables = (n+1).(n-1) (tirage d'un mâle et d'une femelle)
Nombre total de possibilités = tirage sans ordre ni remise de 2 éléments parmi 2n, c'est une combinaison, donc le nbre de possibilités est : 2n!/(2.(2n-2)!) soit en simplifiant n.(2n-1)
Ainsi p(A) = (n+1).(n-1)/(n.(2n-1))
On arrive donc au même résultat 
) Il n'y avait aucune raison de se méfier)
Ok merci à vous.
Il me semble quand même que mon raisonnement n'était pas faux bien que plus long. J'ai fait une erreur de calcul? Sinon pourriez-vous m'indiquer ce qui pêche?
En reprenant tes motations:
P(M) = n.(n+1)/(2n.(2n-1))
P(F) = (n-1)(n-2)/(2n.(2n-1))
P(A) = 1 - [n(n+1) + (n-1)(n-2)]/(2n.(2n-1))
P(A) = [2n.(2n-1) -n(n+1) - (n-1)(n-2)]/(2n.(2n-1))
P(A) = (4n² - 2n -n² - n - n²+ 3n - 2)/(2n.(2n-1))
P(A) = (2n² - 2)/(2n.(2n-1))
P(A) = (n² - 1)/(n.(2n-1))
--> même résultat.