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Une inégalité

Posté par
Sylvieg Moderateur
24-05-20 à 07:30

Bonjour,
Un petit gentil pour le dimanche :
L'entier \; n \;  est strictement positif.
Les réels \;  xi \;  avec \;  i \;  entiers de 1 à n sont tous strictement positifs.
Démontrer que
(x_{1} +x_{2} + ... + x_{n})(\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}+... +\dfrac{1}{x_{n}}) \geq n^{2}
Avec les outils de terminale.

Posté par
carpediem
re : Une inégalité 24-05-20 à 08:27

salut

\left(x_1 + x_2 + \cdots + x_n \right) \left( \dfrac 1 {x_1} + \dfrac 1 {x_2} + \cdots + \dfrac 1 {x_n} \right) \ge n^2 \iff \dfrac1 n \sum_1^n x_k \ge \dfrac 1 n \dfrac 1 {\sum_1^n \dfrac 1 {x_k}}

la moyenne arithmétique est supérieure à la moyenne harmonique

pour en revenir à une démo de Term :

 Cliquez pour afficher


Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Une inégalité 24-05-20 à 08:46

Bonjour carpediem,
C'est tout à fait ça pour la méthode niveau terminale
Pour ce qui est du on "sait", ça se démontre en une ligne.

Posté par
carpediem
re : Une inégalité 24-05-20 à 10:51

oui c'est même de niveau collège (de façon algébrique) ou de niveau première avec l'étude de la fonction x --> x + 1/x



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