Bonsoir,

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Pour commencer petit, "le" cas d'égalité, puisque l'énoncé nous dit qu'il est unique, est x = y = z.

Bonjour,

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Pour l'égalité  ;il suffit de dire x=y=z

Pour >1  je laisse les experts s'exprimer mais...
En  testant x=y=z=1 on obtient 3 pour les deux membres.
rajoutons 0.1 à  x par exemple l'incidence sur le premier membre
consiste à comparer 1.1 à 1/1.1 ce qui rajoute 0,0090909

Sur l'autre membre au numérateur +0.21 au dénominateur+ 0.2
sur le quotient +0.003125  le facteur 15 et le -6 rajouteront 0.46875
Enfin la racine donnera 0.00780 <0.0090909 .

Cet écart augmente si on teste 0.2 0.3 0.4 etc..

Bonjour,

J'ai trouvé cette inégalité sur un autre forum (sans réponse )

LeHibou

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Oui pour le cas d'égalité mais je n'ai pas encore prouvé son unicité !

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Jolie ton idée de faire varier l'une des variables à partir du cas d'égalité !

Une solution partielle

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Je note .

Si alors l'inégalité est vérifiée et elle est même stricte.

En effet la stricte convexité de la fonction inverse sur donne :

.

Bonjour,

Pour la beauté du geste, on peut aussi  démontrer cette inégalité avec Schwartz en prenant les vecteurs
[(x/y), (y/z), (z/x)] et
[(xy), (yz), (zx)].
Cela donne :
(xy + yz + zx) * (x/y + y/z + z/x) (x + y + z)^2 ce qui conduit à :
(x/y + y/z + z/x) T + 2   (en développant le carré)

Bonjour,

attention thetapinch27 ! C'est Cauchy-Scharz sans "t" ! (désolé, on m'a tellement traumatisé à la fac avec ça )

Bien entendu, j'oublie le "w" maintenant lire Cauchy-Schwarz, c'est mieux !

Juste une idée à creuser (qui peut-être ne donnera rien d'intéressant)

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On peut montrer que le terme sous la racine peut s'écrire :
{ 6(x²+y²+z2) + 3[(x+y-z)² + (y+z-x)² + (z+x-y)²] } / (xy+yz+zx)

Et un autre fait remarquable dans l'énoncé, c'est que le membre de droite est complètement invariant par permutation de  [x,y,z] alors que le membre de gauche n'est invariant que par permutation circulaire de [x,y,z].  On peut exploiter ceci en supposant  sans perte de généralité que y est compris entre x et z, mais sans pouvoir imposer quoique ce soit entre x et z.