Bonsoir,

 Cliquez pour afficher

Pour commencer petit, "le" cas d'égalité, puisque l'énoncé nous dit qu'il est unique, est x = y = z.

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Pour l'égalité  ;il suffit de dire x=y=z

Pour >1  je laisse les experts s'exprimer mais...
En  testant x=y=z=1 on obtient 3 pour les deux membres.
rajoutons 0.1 à  x par exemple l'incidence sur le premier membre
consiste à comparer 1.1 à 1/1.1 ce qui rajoute 0,0090909

Sur l'autre membre au numérateur +0.21 au dénominateur+ 0.2
sur le quotient +0.003125  le facteur 15 et le -6 rajouteront 0.46875
Enfin la racine donnera 0.00780 <0.0090909 .

Cet écart augmente si on teste 0.2 0.3 0.4 etc..

Bonjour,

J'ai trouvé cette inégalité sur un autre forum (sans réponse )

LeHibou

 Cliquez pour afficher

Oui pour le cas d'égalité mais je n'ai pas encore prouvé son unicité !

 Cliquez pour afficher

Jolie ton idée de faire varier l'une des variables à partir du cas d'égalité !

Une solution partielle

 Cliquez pour afficher

Je note .

Si alors l'inégalité est vérifiée et elle est même stricte.

En effet la stricte convexité de la fonction inverse sur donne :

.

Bonjour,

Pour la beauté du geste, on peut aussi  démontrer cette inégalité avec Schwartz en prenant les vecteurs
[(x/y), (y/z), (z/x)] et
[(xy), (yz), (zx)].
Cela donne :
(xy + yz + zx) * (x/y + y/z + z/x) (x + y + z)^2 ce qui conduit à :
(x/y + y/z + z/x) T + 2   (en développant le carré)

Bonjour,

attention thetapinch27 ! C'est Cauchy-Scharz sans "t" ! (désolé, on m'a tellement traumatisé à la fac avec ça )

Bien entendu, j'oublie le "w" maintenant lire Cauchy-Schwarz, c'est mieux !

Juste une idée à creuser (qui peut-être ne donnera rien d'intéressant)

 Cliquez pour afficher

On peut montrer que le terme sous la racine peut s'écrire :
{ 6(x²+y²+z2) + 3[(x+y-z)² + (y+z-x)² + (z+x-y)²] } / (xy+yz+zx)

Et un autre fait remarquable dans l'énoncé, c'est que le membre de droite est complètement invariant par permutation de  [x,y,z] alors que le membre de gauche n'est invariant que par permutation circulaire de [x,y,z].  On peut exploiter ceci en supposant  sans perte de généralité que y est compris entre x et z, mais sans pouvoir imposer quoique ce soit entre x et z.

Bonsoir,

Je poursuis mon combat contre les inégalités (c'est une noble cause paraît-il). J'arrive à ramener cette inégalité à une l'étude d'une fonction à 1 variable dont il faut prouver la positivité. Cette fonction  n'a pas une expression sympathique donc je termine la "preuve" par un graphique pour conclure que "on voit bien que c'est positif". Mais peut-être qu'un esprit bien affûté verra une astuce que j'ai manquée pour démontrer cela proprement.

Et aussi, le raisonnement que je présente n'est valable que dans le cas xyz.

Bref, la démo n'est pas achevée mais c'est une bonne avancée .

Donc, on suppose que: xyz
Et on impose sans perte de généralité que x+y+z=1

Ainsi, x²+y²+z² = 1 - 2(xy+yz+zx). Et donc le terme sous la racine peut se réécrire : 15/(xy+yz+zx)-36

Par ailleurs, (z-x)(z-y)(y-x)0 (car xyz) ce qui, par développement montre que x²z+y²x+z²y x²y+y²z+z²x
En divisant par xyz des deux côtés, on montre que x/y+y/z+z/xy/x+z/y+x/z

Ainsi, si on montre que:

alors on aura montré l'inégalité de départ, dans le cas xyz
En bref, l'idée c'est de symétriser.

On réduit au même dénominateur le membre de gauche et on factorise le numérateur. Mais en développant par ailleurs (x+y+z)(xy+yz+zx) on se rend compte que l'inégalité est équivalente à :


Soit

On constate que, pour xy+yz+zx fixé, f est minimum lorsque xyz est maximum.

À partir de là, j'ai cherché ce qui existait concernant les liens coefficients/racines en degrés 3 car xyz, xy+yz+zx, x+y+z sont les coefficients de (X-x)(X-y)(X-z). Et je suis tombé là-dessus:
https://aritra-12.github.io/pdfs/The_pqr_handout%20(1).pdf
Voir la page 11, le "r-lemma" qui permet de dire que lorsque xy+yz+zx et x+y+z sont fixés, alors xyz est maximum lorsque deux des variables {x,y,z} sont égales.

On ne s'intéresse donc qu'aux cas x=y, y=z, z=x et on choisit le plus grand. Sans perte de généralité, on peut se limiter au cas x=y (les autres donneront la même expression mais pas le même domaine de définition) ce qui permet de transformer ce problème en une étude de fonction à une variable.

La fonction dont on veut montrer la positivité devient donc:

avec 0<x1/2 (car x+y+z=1 et x=y). Ici le 'x' est générique est peut représenter n'importe qui parmi {x,y,z} de l'inégalité.

Ci-dessous le graphe de f pour x variant entre 0 et 1/2 et avec un zoom autour du cas d'égalité, ce qui prouve graphiquement l'inégalité version affaiblie (xyz)

Bonne soirée