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Niveau Licence Maths 1e ann
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Une intégrale avec un partie entière dedans

Posté par
Ignard
18-07-09 à 16:43

rebonjour,

dans une des intégrales qu'on me propose je vois intervenir la partie entière de x (notée E(x)) : I=(E(x)-x)dx  entre -1 et 2


  sachant que E(x)x < E(x)+1  j'ai encadré E(x): x-1 < E(x)x et j'ai ensuite calculer les intégrales "extrêmes" (celles avec E(x)=x-1 ou x).

j'ai obtenu -1< I 0  mais cela ne me donne pas la valeur de l'intégrale. Y a-t-il un moyen de faire mieux ?

merci d'avance

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 16:50

Salut

Normalement il faut découper l'intervalle un n petit morceau pour ce débarasser de la partie entière.. ne m'en demande pas plus ^^
Je te met un lien ou quelqu'un fait ça, je pense que tu comprendras

Suite du topic sur les primitives... Deuxième page vers un peu plus du milieu

Posté par
Ignard
re 18-07-09 à 16:53

Ok merci, j'y vais de suite

Posté par
girdav
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 16:57

Bonjour.
En utilisant Chasles on somme les intégrales sur \[-1,0\], \[0,1\] et \[1,2\]. Sur chacun de ces intervalles la partie entière a une certaine valeur.

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 16:59

Salut girdav

Ah bah tu vas pouvoir lui poser la question directement au pire puisque celui qui a posé l'intégrale avec partie entière c'est girdav ^^

Mais j'avoue ne pas avoir très bien ("ou ne pas" tout simplement) compris la méthode ..

Posté par
Ignard
re 18-07-09 à 17:04

Ok Girdav je vais faire ça... ça parait bête une fois que tu le dis ^^

(par contre olive j'avoue que le lien que tu m'as filé est costaux )

et bien merci à vous deux !

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:05

Salut olive,

En fait, c'est tout simple.
On sait que la partie entière de tout nombre compris entre n et n+1 est n (si n est un entier)
Donc, pour x entre -1 et 0, E(x) vaudra toujours -1.
Entre 0 et 1, E(x) vaudra toujours 0, etc...

Ce qu'il faut avoir en tête, c'est que si on considère 3$ \Bigint_a^b f(x) ~dx, cela "signifie" que x prend des valeurs entre a et b.

Est-ce que ça clarifie la chose ? :s

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:10

Merci MataHitienne (Et re )

Ca je comprend c'est la définition de la partie entière en fin de compte non ?

Le truc c'est que je ne comprends pas pourquoi ou plutôt comment on fait ce passage :

3$\Bigint_0^1{n\left(-1\right)^{E(nx)}}e^{-x^2}dx =\Bigsum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k} \Bigint_{\fr{k}{n}}^{\fr{k+1}{n}} n e^{-x^2}dx

Tu vois ? c'est ça qui me parait obscure ^^

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:15

Ok.

x prend des valeurs entre 0 et 1.
Maintenant, il faut repérer où intervient la partie entière, à savoir dans E(nx)

Quelles valeurs peut prendre nx ?
Des valeurs entre 0 et n bien sûr ^^

Donc décompose l'intervalle [0,n] en [0,1] ... [n-1,n]
Comme ça, tu as la valeur de E(nx) pour chacun d'entre eux.

Or, si nx est dans [k,k+1], x est dans quel intervalle ?

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:17

Par contre, d'où vient cette intégrale ?

Parce que ce n'est pas possible de calculer explicitement 3$ \Bigint_{\tfrac kn}^{\tfrac{k+1}{n}} e^{-x^2} ~dx

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:18

hmpf...

3$ \Bigint_{\frac kn}^{\frac{k+1}{n}} e^{-x^2} ~dx

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:26

Ah  !! C'est déja beaucoup plus clair maintenant !! Rien de compliqué mais si on ne fait pas le raisonnement que tu viens de faire on ne peut pas comprendre, Merci beaucoup !!

Sinon j'ai autre chose à proposer pour ton intégrale Ignard puisque je t'ai un peu voler ton topic xD

3$\Bigint_1^{2} \ E(x) \ \text{d}x=\Bigint_1^{t} \ E(x) \ \text{d}x+\Bigint_t^{2} \ E(x) \ \text{d}x

Avec t fixée dans 3$[1;2[, donc 3$\Bigint_1^{2} \ E(x) \ \text{d}x=t-1+\Bigint_t^{2} \ E(x) \ text{d}x

3$t étant arbitrairement fixée dans 3$[1;2[ on en déduit que 3$\Bigint_1^{2} \ E(x) \ \text{d}x=1

C'est juste ?

Si ça l'ai tu peux faire ça pour les deux autres intervalles donnée par girdav ^^

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:28

Ah pardon j'avais oublié ^^

Oui c'est pour ça que matovitch introduit la fonction erreur de gauss (C'est un terminale !! )

Au fait, tu as passé des concours ou des examens toi cette année ?

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:33

Citation :
Ah  !! C'est déja beaucoup plus clair maintenant !! Rien de compliqué mais si on ne fait pas le raisonnement que tu viens de faire on ne peut pas comprendre, Merci beaucoup !!

Il n'y a rien de magique en fait !
Il faut juste se dire "je dois me débarrasser de la fonction partie entière"

Pour ton calcul...
Citation :
Avec t fixée dans 3$[1;2[, donc 3$\Bigint_1^{2} \ E(x) \ \text{d}x=t-1+\Bigint_t^{2} \ E(x) \ \text{d}x

Nope.
Si j'ai bien compris ce que tu as marqué, cela voudrait dire que pour tout x entre 1 et t, E(x)=t-1 ?
Ça me paraît un peu faux Déjà parce que E(x) est censé être un entier et que t-1 ne l'est pas (presque sûrement )

Il ne faut pas chercher trop loin.
Entre 1 et 2, E(x)=1.
Donc tout simplement (enfin faut avoir le feeling ), 3$ \Bigint_1^2 E(x) ~dx=\Bigint_1^2 1 ~dx=\Bigint_1^2 dx=1

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:34

Citation :
Oui c'est pour ça que matovitch introduit la fonction erreur de gauss (C'est un terminale !! )

Tu as des terminales qui n'en sont pas tout à fait

Citation :
Au fait, tu as passé des concours ou des examens toi cette année ?

Examens et admissions sur titre, et si tu veux savoir, ça se passe bien pour le moment

Posté par
girdav
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:37


MataHitienne
En fait l'intégrale est issu d'un problème où on cherche \lim_{n \to \infty} \bigint_0^1{n\(-1\)^{E\(nx\)}e^{-x^2}dx}.
Ca me fait d'ailleurs penser que je n'en ai toujours pas la solution.

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:45

Citation :
Ca me fait d'ailleurs penser que je n'en ai toujours pas la solution.

Voui, mais existe-t-elle?

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:46

Non non Je t'explique le raisonnement de fouine que j'ai dévelloppé

Pour 3$x\in [1;t] donc au plus dans 3$[1;2[ la partie entière vaut 3$1

La je pense qu'on est d'accord, donc que 3$\Bigint_1^t \ E(x) \ \text{d}x=(t-1)\times 1=t-1 tu vois ce que je veux dire ?

Du coup on abouti sur 3$\Bigint_1^{2} \ E(x) \ \text{d}x=t-1+\Bigint_t^{2} \ E(x) \ \text{d}x

Et on prend 3$t arbitrairement dans 3$[1;2[ donc on le prend très proche de 3$2 donc l'intégrale 3$\Bigint_t^{2} \ E(x) \ \text{d}x devient négligeable et on obtient le résultat ^^

Mais bon apparament il y avait beaucoup plus simple donc , dans ma tête je voiyais directement le résultat sur cette intervalle mais je ne pensais pas qu'on puisse balancé directement la réponse moi ^^

Citation :
Tu as des terminales qui n'en sont pas tout à fait

\to Possible, mais lui il a passé le bac cette année (et le même que moi hein ^^)

Citation :
Examens et admissions sur titre, et si tu veux savoir, ça se passe bien pour le moment

\to Ahah et ben je suis content pour toi si tout ce passe bien c'est pour faire quoi?

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 17:53

Ah chuis bête, ok je vois le t-1 ^^
Mais c'est chercher midi à 14heures (je crois que c'est l'expression)

Citation :
Possible, mais lui il a passé le bac cette année (et le même que moi hein ^^)

Ce que je voulais dire par là, c'est qu'il existe (et pas qu'un peu) des lycéens qui prennent de l'avance en maths, par exemple en fouinant dans des notions jamais abordées avant le bac.
La fonction erf en fait partie (enfin je me souviens pas que c'est au programme de TS )

Citation :
Ahah  et ben je suis content pour toi si tout ce passe bien  c'est pour faire quoi?

Thanks
C'est pour faire une formation d'actuariat.
Ben oui, je ne suis pas de cette majorité qui prépare les grandes écoles

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 18:40

Ouais ben c'est la plus forte personne en maths de mon age que j'ai pu croiser

C'est quoi ça ? Ben tant que tu fais ce que tu aimes ..

Posté par
girdav
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 18-07-09 à 20:31

Citation :
Voui, mais existe-t-elle?

L'exo est tiré d'une de mes feuilles de TD de cette année, et on n'a pas touché à cet exo.
J'ai essayé de regarder le cas où n est pair, pour majorer les intégrales de e^{-x^2} en coupent la somme en deux: celle des indices pair et des indices impairs à cause du \(-1\)^j. Cette piste n'a pour l'instant rien donné, pas plus que celle du développement en série entière.

Posté par
bamboum
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 01:37

Je ne suis pas d'accord (mais c'est mon point de vue) avec cette definition d'une partie entiere quand -1<x<0. En effet ou on parle francais ou non. "Partie entiere" d'un nombre decimal c'est ce qu'il y a avant la virgule donc en toute rigueur ca serait 0 dans ce cas. Alors l'integrale vaudrait -1/2.
Sinon si on accepte la definition communement admise de E(x) () alors elle sera égale à -3/2.

Posté par
bamboum
supplement 19-07-09 à 01:43

J'ai oublie:
- les discontinuites de premiere espece ne sont pas un probleme pour les calculs des integrales.
- que l'on confonde pas la relation vectorielle de ce pauvre Chasles avec l'additivite des integrales sur des segments (mesures)complementaires.

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 01:46

bamboum je vois pas trop d'ou vienne les demi.. ce que j'ai dis plus haut est faux ? (pour trouver la l'intégrale entre 1 et 2)

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 11:24

@ bamboum :

Citation :
En mathématiques et en informatique, la partie entière (si non précisé : par défaut) d'un nombre réel est l'entier qui lui est immédiatement inférieur ou égal.

donc pour les nombres négatifs, ta définition est fausse.

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 11:26

Citation :
- les discontinuites de premiere espece ne sont pas un probleme pour les calculs des integrales.

Qu'appelles-tu une discontinuité de première espèce ?

Si tu veux parler du cas où x=0, 1 ou 2, oui, ce sont des discontinuités, mais les singletons étant de mesure de Lebesgue nulle, on s'en fiche

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 11:29

Ah et on sait comment si c'est une mesure nulle ? Enfin si ca dépasse pas trop mon niveau quoi..

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 19:10

J'ai peur de raconter des bêtises pour la correspondance intégrale de Riemann-intégrale de Lebesgue (c'est de la "théorie de la mesure")

Pour la mesure le Lebesgue, notée \lambda, on a \lambda([a,b])=b-a
La mesure d'un singleton {a} est nulle.
En particulier, \lambda([a,b])=\lambda(]a,b])=\lambda(]a,b[)=b-a

Mais franchement, ce n'est pas du tout au programme !

Juste pour dire que s'il y a un point de discontinuité (et qui ne soit pas l'infini), alors on peut le négliger.

J'espère que j'ai pas dit trop de bêtises

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 19:21

Ah ok je pense comprendre un peu l'idée merci

Posté par
Arkhnor
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 20:42

Bonsoir.

Oui, les raisonnements avec la théorie de la mesure ne sont pas applicables à l'intégrale de Riemann. (ou avec précautions)

Néanmoins, il est vrai que si l'on modifie la valeur d'une fonction Riemann-intégrable sur un segment en un nombre fini de points, on ne change pas son caractère R-intégrable, ni la valeur de son intégrale.

Cela devient faux en général pour un nombre infini dénombrable de points. (voir l'indicatrice des rationnels)

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 20:49

C'est du chinois pour moi tout ça :S

Mais ce que je dois retenir c'est que si par exemple on prend la fonction définie sur 3$[0;3] par 3$\rm f(x)=\{ x^2 \ \ si x\neq 1 \\ 0 \ \ si x=1 ou x=2 (puisque c'est un nombre fini de point

Donc la valeur de l'intégrale 3$\Bigint_0^3 \ f(x) \ \text{d}x va valoir 3$\Bigint_0^3 \ x^2 \ \text{d}x, enfin c'est ce que j'ai compris moi..

C'est ça ?

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 20:50

oué

mais c'est à appliquer avec BEAUCOUP de précautions.

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 20:53

Ok d'ici que j'utilise ce genre de propriété je l'aurais surement déjà vu en sup ..

Posté par
MataHitienne
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 20:54

J'sais pas si on voit ça en niveau sup, peut-être spé, et encore, pas tous les détails.

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 19-07-09 à 20:58

^^ Ben je le verras pendant les vacances l'année prochaine une fois que je serais plus mur mathématiquement parlant

Posté par
Arkhnor
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 20-07-09 à 08:45

Surtout que l'intégrale vue en sup n'est même pas l'intégrale de Riemann si je ne m'abuses ...

Posté par
Arkhnor
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 20-07-09 à 08:46

Citation :
Qu'appelles-tu une discontinuité de première espèce ?

C'est quand la fonction a une limite à droite et une limite à gauche, mais qu'elles sont différentes.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 20-07-09 à 09:19

f(x) = E(x) - x

f(x) varie linéairement de 0 à -1 pour x dans [m ; m+1[ (avec m quelconque dans Z)

Et donc  \int_m^{m+1} [E(x) - x] dx = - \frac{1}{2}

--> Avec m1 et m2 dans Z, on a:

 \int_{m_1}^{m_2} [E(x) - x] dx = - \frac{m_2 - m_1}{2}
-----
Sauf distraction.  

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 20-07-09 à 14:50

^^ Ah c'est ce que je pensais au départ alors ? il faut découper l'intervalle?

Si tu pouvais en dire un peu plus

Merci

Posté par
Arkhnor
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 20-07-09 à 16:02

La fonction à intégrer est périodique de période 1, on intègre sur 3 périodes, on obtient donc 3 fois l'intégrale sur une période, cette dernière valant -1/2. (intégrer sur [0,1])

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 07:51

J'irais voir sur internet, ce qu'on me dit sur l'integration de la partie entière, la c'est pas trop clair pour moi ^^'

Posté par
Arkhnor
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 07:55

Je ne suis pas sur que tu puisses trouver un cours spécialement dédié à ce thème.
Qu'est-ce qui est flou pour toi ?

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:01

Ahh c'est bon je viens de voir qu'il y avait quiproquo..

Je pensais que tu me disais que 3$\blue \Bigint_0^{1} \ \cal{E}\[x\] \ \text{d}x=-\fr{1}{2} mais en fait c'était 3$\blue \Bigint_0^{1} \ \cal{E}\[x\]-x \ \text{d}x=-\fr{1}{2} alors je cherchais je cherchais mais je ne voyais pas pourquoi..

Sorry ^^

Posté par
Arkhnor
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:03

Ok, je comprends le problème. ^^

Posté par
matovitch
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:16

Pour le problème de girdav...
Il semble que ce que j'ai dit pour n pair soit bon (d'après maple) mais que je me soit trompé pour les impair.
Sinon ce n'est pas la "vrai" fonction d'erreur, car j'ai supprimé le coefficient \fr{2}\sqrt{\pi} pour alléger (il suffit de le savoir).
Voici ce que j'avais dit dans le topic précédent.

Citation :
Si je n'y arrive pas j'essaierai d'encadrer l'intégrale par la méthode des trapèzes.

Je suis persuadé que ça marche...

olive >> Je te conseille de regarder les 2 messages suivants Suite du topic sur les primitives... (c'est plus propre).

Posté par
matovitch
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:18

olive >> Tu ne dors donc jamais !!

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:21

^^ Merci

On dirait hein ^^

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:42

(aufait, j'ai raison de penser que tu réfléchies à l'intégrale que je viens de poster en détente ? Si c'est le cas il faudra quand même remarquer quelque chose que on ne voit pas en terminale, je reste vague au cas où )

Posté par
olive_68
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:43

Apparement non tu n'es plus connecté ^^

Posté par
matovitch
re : Une intégrale avec un partie entière dedans 23-07-09 à 08:50

Si, si je suis là et je l'ai faite va voir ! ^^

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