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Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 16-12-15 à 00:52

Bonsoir,

Avec un peu de retard:


Caclul de la Pertinence d'une approximation:


Pour le calcul de la pertinance P des approximations suivantes, je ne comptabiliserai que le nombre de chiffres N qui apparaissent dans la formule approximante, exception faite des puissances (1/n), dans quel cas je ne considèrerai que les chiffres composant n, et pour ce qui est de  "(\varphi^{2})",  "(\varphi+1)",  "(\varphi - 1)"  et  "(\varphi^{-1})", je ne comptabiliserai pas non plus les "2", et les "1" qui y apparaissent.
- Je considère en effet que  (\varphi^{2}),  soit:  (\varphi+1)  et  (\varphi^{-1})  soit:  (\varphi - 1)  correspondent à des valeurs remarquables à part entière.  

Je ne tiendrai pas non plus compte des oprérateurs utilisés, ni pour l'écriture décimale de l'approximation elle-même de la virgule, sa position étant déterminée par la formule approximante.


Méthode de calcul:


Soient:     C : la constante à approximer
                V : la valeur de l'approximation
                N : le nombre de chiffres significatifs comptabilisés intervenant dans la formule approximante
                p : la performance  décimale  rendue
                P (Approx.) : la pertinence de l'approximation étudiée

On commence par calculer:  1 - \left( \dfrac{C}{V} \right) ,  on transcrit ensuite le résultat sous la forme:   a,bcde... \times 10^{\,n} .

Ceci nous permet ensuite de calculer  p selon la formule suivante:

                n - 0,abcde...  =  p ,


puis enfin P :

                P(Appox.)  =  \dfrac{p}{N} .



Selon ces critères:



Relativement à \pi:



124  =  [124,000...
                                                                            3 pour 0,0253...  P =  0,0084...    -------->  À considérer que 124
                                                                                                                                                puisse être vu commr une
                                                                                                                                                approximation de  \pi.

4  =  [4,000...
                                                                            1 pour 0,7854...  P =  0,7854...

3  =  3,[000...
                                                                            1 pour 1,5280...  P =  1,5280...    ------->  Par conséquent, la pertinence
                                                                                                                                               approximative de  3
                                                                                                                                               relativement à  \pi  est selon
                                                                                                                                               mes critères : excellente !


\dfrac{22}{7}  =  3,14[285...
                                                                            3 pour 3,5977...  P =  1,1992...    ------->  Comparable à 355/113 !!

\dfrac{333}{106}  =  3,1415[094...
                                                                            6 pour 4,7351...  P =  0,7892...  

\dfrac{355}{113}  =  3,141592[920...
                                                                            6 pour 7,1509...  P =  1,1918...    ------->  Très bonne mais un tout petit
                                                                                                                                               peu moins  que 22/7.
                                                                                                                                                   => C'est étonant...

\dfrac{103\,993}{33\,102}  =  3,141592653[0\,11...
                                                                            11 pour 9,8160...  P =  0,8924...

\dfrac{104\,348}{33\,215}  =  3,141592653[9\,21...
                                                                            11 pour 9,8944...  P =  0,8995...     ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                 9,8944... de rendues.

\dfrac{208\,341}{66\,317}  =  3,141592653[4\,67...
                                                                            11 pour 10,6105...  P =  0,9646...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  10,6105... de rendues.

\dfrac{312\,689}{99\,532}  =  3,141592653[6\,18...
                                                                            11 pour 11,0723...  P =  1,0066...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  11,0723... de rendues.

\dfrac{833\,719}{265\,381}  =  3,1415926535\,8[107...
                                                                            12 pour 11,7226...  P =  0,9769...    ------->  La progression de P est
                                                                                                                                                   harmonieuse.

\dfrac{1\,146\,408}{364\,913}  =  3,141592653\,5[914...
                                                                            13 pour 12,4873...  P =  0,9606...


\dfrac {21\, 053\, 343\, 141}{6\, 701\, 487\, 259}  =  3,1415926535\,8979323846\,2[38\,1...
                                                                            21  pour  22,1672...  P =  1,0076...

 \dfrac {30\, 246\, 273\, 033\, 735\, 921}{9\, 627\, 687\, 726\, 852\, 338}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,50[7\,44...
                                                                            33  pour  32,8548...  P =  0,9956...

 \dfrac {2\,646\,693\,125\,139\,304\,345}{842\,468\,587\,426\,513\,207}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841[830...
                                                                            37 pour 38,5510...  P =  1,0419...


3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,694  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,69[4...
                                                                            44 pour 45,8011...  P =  1,0401...    ------->  Sa pertinence est semblable
                                                                                                                                                   aux précédentes...        
    

\left(\dfrac{39}{22}\right)^{2}  =   3,14[256...
                                                                            5 pour 3,6915...  P =  0,7383...


\left(\dfrac{296}{167}\right)^2  =  3,14159[704...
                                                                            7 pour 5,8602...  P =  0,8372...

\left(\dfrac{8\,545}{4\,821}\right)^2  =  3,1415926[424...
                                                                            9 pour 8,6439...  P =  0,9604...


\left(\dfrac{821}{653}\right)^5  =  3,141592[701...
                                                                            7 pour 7,8497...  P =  1,1214...    ------->  Assez bonne à bonne.

\left(\dfrac{9\,629}{8\,873}\right)^{14}  =  3,141592653[0\,23...
                                                                            10 pour 9,8198...  P =  0,9812...

\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/4}  =  3,14159265[25\,8...
                                                                            7 pour 9,6794...  P =  1,3828...    ------->  Très très bonne !


\dfrac{22}{17} + \dfrac{37}{47} + \dfrac{88}{83}  =  3,141592653[4\,67...
                                                                            12 pour 10,5126976  P =  0,8761..    ------->  Pas très bonne mais
                                                                                                                                                     fractions simples...


\dfrac{311}{70\sqrt{2}}  =  3,1415[744...
                                                                            6 pour 5,4194...  P =  0,9032...

\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  =  3,141[632...
                                                                            3 pour 4,8730...  P =  1,6243...    ------->  Excelllente !!


\dfrac{6}{5}. \varphi^2  =  3,141[6407...
                                                                            3 pour 4,8468...  P =  1,6156...    ------->  Excellente !!

\left(\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}\right)^2  =  3,1415926[848...
                                                                            7 pour 8,0050...  P =  1,1436...    ------->  Assez bonne.
                                                                                                                                               (Mais non prévue
                                                                                                                                               pour \pi.)


\dfrac{69}{163}+ e  =  3,14159[471...
                                                                            6 pour 6,3448...  P =  1,0575...

\dfrac{95.\varphi}{18.e}  =  3,1415[204...
                                                                            6 pour 4,8707...  P =  0.8118...

\dfrac{11}{48} . e^{\varphi^2}  =  3,141[5875...
                                                                            6 pour  5,8365...  P =  0,9727...

          ------->  Pas terrible certes, mais il n'y en a pas de meilleure de la forme   \dfrac{a}{a}.e^{\varphi^2}
          Preuve: le développement en fractions continues donne: [4, 2, 1, 3, 1157, 1, 20, 4, 1, 1, 1, ...], ce qui signifie que la prochaine meilleure approximation de cette forme est:

                                                                          \dfrac{55\,549}{1\,270}.e^{\varphi^2}


\left(\dfrac{45\,048}{47\,153}\right)^{2} e^{2 (\varphi-1)}}  =  3,1415926535\,8[298...
                                                                            14 pour 11,7832...  P =  0,8417...

\dfrac{5}{7}. e . \varphi  =  3,141[623...
                                                                            4 pour 5,0297...  P =  1,2574...    ------->  Très bonne.

\dfrac{e  .  \varphi}{\sqrt{2}-71/5\,000}  =  3,141592[701...
                                                                            9 pour 7,8477...  P =  0,8720...


\dfrac{\ln{(640\,320^{3}+744)}}{\sqrt{163}}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,[726...
                                                                            14 pour 31,2878...  P =  2,2348...    ------->  Énorme !! !! !
                                                                                                                                                   Même en comptabilisant
                                                                                                                                                   ln comme 1 dans N
                                                                                                                                                   (=> Ultime?)



Relativement à  \sqrt{\pi}:



\dfrac{39}{22}  =  1,772[727...
                                                                            4 pour 3,8458...  P =  0,9614...

\dfrac{296}{167}  =  1,77245[508...
                                                                            6 pour 6,3010...  P =  1,0502...

\dfrac{8\,545}{4\,821}  =  1,7724538[477...
                                                                            8 pour 8,8219...  P =  1,1027...    ------->  Assez bonne.


\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/8}  =  1,772453850[6\,21...
                                                                            7 pour 9,8397...  P =  1,4057...    ------->  Très très bonne.


\dfrac{94\sqrt{2}}{75}  =  1,7724[809...
                                                                            5 pour 4,8468...  P =  0,9694...


\dfrac{379.\varphi}{90.e \sqrt{2}}  =  1,772453[543...
                                                                            8 pour 6,8266...  P =   0,8533...

\dfrac{7\,361.e}{6\,977.\varphi}  =  1,77245385[11\,4...
                                                                            10 pour 9,8648...  P =  0,9865...

\dfrac{45\,048}{47\,153}.e^{(\varphi-1)}}  =  1,7724538509\,0[359...
                                                                            12 pour 11,8916...   P =  0,9910...

\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}  =  1,77245385[97\,2...
                                                                            6 pour 8,5025...  P =  1,4171...    ------->  Très très bonne, elle est
                                                                                                                                               encore meilleure que celle
                                                                                                                                               un peu plus haut.


Bon milieu de semaine!


0^0.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 16-12-15 à 13:30

Bonjour Zeropuiszero,

Tu as abattu une grosse besogne ...
Tes calculs apportent une précision supplémentaire par rapport à la loi empirique simple que j'ai proposée.

Cette précision n'a cependant pas de sens dans certains cas où elle doit être relativisée.
Il est assez facile du reste d'identifier les cas où il faut relativiser : ce sont ceux qui précisément vont au-delà de cette "loi" en présentant un rapport significativement plus grand que 1.

Il s'agit en général de formules dans lesquelles apparaissent des "arbitraires" (ou degrés de liberté si tu préfères ce terme plus "technique" ) non comptabilisés.

Un exemple flagrant :

\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  \simeq  3,1416
Est spectaculaire en apparence avec environ 3 pour 5...
... Mais cette formule comprend 3 racines carrées, donc 3 puissances 1/2...
Il y a donc au sens très strict 3 digits supplémentaires.
Ou à tout le moins environ 1 digit "équivalent" si on suppose qu'on s'est autorisé un choix entre 1 et 1/2 pour chaque chiffre...

Mon but n'est pas en disant ça, de contester l'esthétique de la formule qui est vraiment sympathique. Mais juste de rappeler qu'avec des DDL du même ordre on pourra trouver d'autres approximation plus ou moins semblables.

Dit autrement : si on reprend les meilleures approximations basées sur des fractions consommant  n  chiffres  et qu'à leur place on cherche les meilleures approximations avec une puissance 1 ou 1/2 pour le numérateur, le dénominateur ou la fraction dans son ensemble, on va mécaniquement gagner encore au moins un chiffre significatif, alors qu'en apparence on aura le même nombre de chiffres.

Mais dans ce cas c'est ce que j'ai appelé un tour de passe-passe. Une façon artificielle de faire grimper le ratio...

De la même manière, pour les formule impliquant des "symboles" non digitaux :
Ceux-ci doivent faire l'objet d'une définition plus précise de leur domaine de valeurs. Si tu considères (arbitrairement) que phi, phi carré, 1 sur phi, etc... forment un seul symbole, alors il en est de même pour les autres nombres remarquables et de ce fait tu démultiplies les combinaisons, introduisant ainsi par un symbole comptabilisé pour 1, des combinaisons équivalentes à celles obtenues avec 2 ou 3 chiffres... tu consommes donc bien plus qu'un seul "digit équivalent".

Exemple :  \dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}  =  1,77245385...
Que tu valorises à 6 digits pour 8,5...
Cette formule contient plusieurs DDL non comptabilisés à leur juste valeur.
En, étant plus rigoureux sur le comptage des DDL, tu arriverais à un ratio plus proche de 8 pour 8,5.

En rectifiant cette lacune de la formule du ratio, tu verras que les valeurs nettement supérieures à 1 s'expliquent facilement la plupart du temps.

Il n'y a guère que Ramanujan qui ait produit une formule vraiment exceptionnelle.
Et encore : s'il était là, il nous expliquerait probablement la démarche qui l'a guidé vers ce déluge de chiffres significatifs et nous apprendrions peut-être à en produire de similaires qui ait de belles qualités d'approximation.

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 16-12-15 à 19:18

Bonjour LeDino,

Déjà, un grad merci pour tes observations qui me permettent d'avancer.

LeDino

Tu as abattu une grosse besogne ...
Tes calculs apportent une précision supplémentaire par rapport à la loi empirique simple que j'ai proposée.

En effet, mis à part les exceptions et les mauvaises approximations, elle se vérifie.

LeDino

Cette précision n'a cependant pas de sens dans certains cas où elle doit être relativisée.
Il est assez facile du reste d'identifier les cas où il faut relativiser : ce sont ceux qui précisément vont au-delà de cette "loi" en présentant un rapport significativement plus grand que 1.

Il s'agit en général de formules dans lesquelles apparaissent des "arbitraires" (ou degrés de liberté si tu préfères ce terme plus "technique" ) non comptabilisés.

Un exemple flagrant :

\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  \simeq  3,1416

Est spectaculaire en apparence avec environ 3 pour 5...
... Mais cette formule comprend 3 racines carrées, donc 3 puissances 1/2...
Il y a donc au sens très strict 3 digits supplémentaires.
Ou à tout le moins environ 1 digit "équivalent" si on suppose qu'on s'est autorisé un choix entre 1 et 1/2 pour chaque chiffre...

Pour ce cas particulier cité et d'autres, tu as sans doute raison...

Je vais te suivre pour les racines carrées, assimilons les à des puissances (1/2) ce qu'elles sont. Comptabilisons les donc pour déterminer N selon ce que j'ai dit plus haut, +1 pour les racines carrées.

Ok.

Il me faut donc reprendre en partie... lol

Par exemple:  \sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  =  3,141[632...

Ce ne sera pas 3 pour 4,8730... ,  Mais 6 pour 4,8730... ce qui donne  P = 0.8122...  ------> on passe effectivement d' "excellente" à mauvaise...

LeDino

[...]

Dit autrement : si on reprend les meilleures approximations basées sur des fractions consommant  n  chiffres  et qu'à leur place on cherche les meilleures approximations avec une puissance 1 ou 1/2 pour le numérateur, le dénominateur ou la fraction dans son ensemble, on va mécaniquement gagner encore au moins un chiffre significatif, alors qu'en apparence on aura le même nombre de chiffres.

Mais dans ce cas c'est ce que j'ai appelé un tour de passe-passe. Une façon artificielle de faire grimper le ratio...

Ce qui n'est pas du tout mon but. C'est plutôt l'objectivité que je recherche...

LeDino

De la même manière, pour les formule impliquant des "symboles" non digitaux :
Ceux-ci doivent faire l'objet d'une définition plus précise de leur domaine de valeurs. Si tu considères (arbitrairement) que phi, phi carré, 1 sur phi, etc... forment un seul symbole, alors il en est de même pour les autres nombres remarquables et de ce fait tu démultiplies les combinaisons, introduisant ainsi par un symbole comptabilisé pour 1, des combinaisons équivalentes à celles obtenues avec 2 ou 3 chiffres... tu consommes donc bien plus qu'un seul "digit équivalent".

Exemple :  \dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}  =  1,77245385...
Que tu valorises à 6 digits pour 8,5...
Cette formule contient plusieurs DDL non comptabilisés à leur juste valeur.
En, étant plus rigoureux sur le comptage des DDL, tu arriverais à un ratio plus proche de 8 pour 8,5.

En rectifiant cette lacune de la formule du ratio, tu verras que les valeurs nettement supérieures à 1 s'expliquent facilement la plupart du temps.

Je comprends bien ce que tu me dis là, c'est très pertinent... Mais, le point est que des valeurs comme \varphi ou  e  sont parfaitement définies et correspondent à des nombres particuliers en soi, uniques, d'où le sens à les compter chacun comme valant 1 alors qu'à priori un rapport comme 45/47 ne signifie rien de particulier en soi, d'où l'à-propos de le compter comme valant: 4 (en base 10 en tout cas, car il y a encore leproblème de la base utilisée....).
Ce que je dis là est d'autant plus fondé si le but est de mettre en relation d'approximation deux constantes telles  \varphi^{2} et  \sqrt{\pi}  par exemple.

Donc je ne sais pas... Je continue de penser que comptabiliser dans le calcul de N des constantes telles que  e  par exemple comme valant 1, a du sens...

- Je sais, cela peu paraître arbitraire, mais c'est tout aussi arbitraire selon moi de noter  \varphi^{2} :   " \dfrac{\sqrt{5}+3}{2} "  plutôt que simplement  " \varphi^{2} "  ou  " (\varphi+1) ".

LeDino

Il n'y a guère que Ramanujan qui ait produit une formule vraiment exceptionnelle.

C'est ce que je vais tâcher de voir en reprenant tout...

Mais il me reviens déjà en mémoire plusieurs exemples indiscutables donnés plus haut qui prouvent le contraire de ce que tu dis là.

Comme:


Relativement à \pi:


3  =  3,[000...
                                                                            1 pour 1,5280...  P =  1,5280...    ------->  Relativement à mes critères :
                                                                                                                                               elle reste excellente !

\dfrac{22}{7}  =  3,14[285...
                                                                            3 pour 3,5977...  P =  1,1992...    ------->  Comparable à 355/113 !!    

\dfrac{355}{113}  =  3,141592[920...
                                                                            6 pour 7,1509...  P =  1,1918...    ------->  Très bonne mais un tout petit
                                                                                                                                               peu moins  que 22/7.
                                                                                                                                                   => C'est étonant...

\left(\dfrac{821}{653}\right)^5  =  3,141592[701...
                                                                            7 pour 7,8497...  P =  1,1214...    ------->  Reste assez bonne à bonne.

\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/4}  =  3,14159265[25\,8...
                                                                            7 pour 9,6794...  P =  1,3828...    ------->  Reste très très bonne !


et relativement à  \sqrt{\pi}:


\dfrac{8\,545}{4\,821}  =  1,7724538[477...
                                                                            8 pour 8,8219...  P =  1,1027...    ------->  Reste assez bonne.


\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/8}  =  1,772453850[6\,21...
                                                                            7 pour 9,8397...  P =  1,4057...    ------->  Reste très très bonne.


===>  Ici nous n'avons aucune constante utilisée et aucune racines non comptabilisées. Et pourtant le P calculé est élevé.
- C'est donc bien que dans tous les cas, il y a des approximations qui sortent du lot, échappant ainsi à ta loi empirique générale.
                        ( Sans même parler du 'monstre' de Ramanujan... )


\left( Le cas de  \dfrac{333}{106}  =  3,1415[094...  est aussi intéressant:  6 pour 4,7351...  P =  0,7892...    ------->  très faible alors que c'est le troisième approximant de  \pi  calculé à partir de son développement en fractions continues, c'est-à-dirire entre 22/7 et 355/113, tout deux bien meillleurs. \left\right)


LeDino

Et encore : s'il était là, il nous expliquerait probablement la démarche qui l'a guidé vers ce déluge de chiffres significatifs et nous apprendrions peut-être à en produire de similaires qui ait de belles qualités d'approximation.

Ce serait cool qu'il nous l'explique !

____________________________________________________________________________________________

Mais j'y pense... J'ai exposé ma manière de calculer cette 'pertinence' et donné de nombreux exemples sans dire précisément ce que je recherche... En réalité je tente des choses et observe ce qui apparait. Une méthode appliquée, définie comme je l'ai fait plus haut, doit pouvoir révéler certaines choses, c'est cela qui m'itéresse en réalité, même si je ne sais pas précisément ce que ce sera au départ, ni ce que cela peut sigifier sur un plan strictement mathématique... C'est entre autre pour cette raison que je poste ici, dans l'attente de recevoir quelques remarques éclairées, comme les tiennes, susceptibles de me faire avancer.
Ce dont ma 'pertinence P' doit rendre compte pour me satisfaire, c'est l' 'économie brute' qu'elle représente en termes de restitution exploitable en fonction du nombre N de chiffres significatifs qui apparaissent dans la formule approximante évaluée, 'brute' car les opérateurs utilisés, ainsi que les parenthèses, rendent compte d'autre chose selon moi : ils rendent compte de l' 'intelligence' de la formule, certes possiblement objectivement calculable de même, mais cette question me dépasse... Une idée pour une piste?

0^0

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 16-12-15 à 22:27

Bonsoir,

Correction et réarangement du post plus haut:


Caclul de la Pertinence d'une approximation:


Pour le calcul de la pertinance P des approximations suivantes, je ne comptabiliserai que le nombre de chiffres N qui apparaissent dans la formule approximante, exception faite des puissances (1/n), dans quel cas je ne considèrerai que les chiffres composant n, et pour ce qui est de  "(\varphi^{2})",  "(\varphi+1)",  "(\varphi - 1)"  et  "(\varphi^{-1})", je ne comptabiliserai pas non plus les "2", et les "1" qui y apparaissent.
- Je considère en effet que  (\varphi^{2}),  soit:  (\varphi+1)  et  (\varphi^{-1})  soit:  (\varphi - 1)  correspondent à des valeurs remarquables à part entière.

Les racines carrées étant des puissances (1/2) seront chacunes comptées pour 1.
- [ Je noterai (en vert) cependant dans ce qui suit, les valeurs de N, p et P (voir plus loin) si l'on considére  \sqrt{2}  comme un nombre remarquable également, pour les cas où l'on cherche à évaluer une approximation en fonction notamment de  \sqrt{2}. (Il y aura aussi le cas avec \sqrt{5}.) ]  

Je ne tiendrai pas non plus compte des oprérateurs utilisés, ni pour l'écriture décimale de l'approximation elle-même de la virgule, sa position étant déterminée par la formule approximante.


Méthode de calcul:


Soient:     C : la constante à approximer
                V : la valeur de l'approximation
                N : le nombre de chiffres significatifs comptabilisés intervenant dans la formule approximante
                p : la performance  décimale  rendue
                P (Approx.) : la pertinence de l'approximation étudiée

On commence par calculer:  1 - \left( \dfrac{C}{V} \right) ,  on transcrit ensuite le résultat sous la forme:   a,bcde... \times 10^{\,n} .

Ceci nous permet ensuite de calculer  p selon la formule suivante:

                n - 0,abcde...  =  p ,


puis enfin P :

                P(Appox.)  =  \dfrac{p}{N} .



Selon ces critères:



Relativement à \pi:

_______________________________________________________________________________________________

124  =  [124,000...
                                                                            3 pour 0,0253...  P =  0,0084...    -------->  À considérer que 124
                                                                                                                                                puisse être vu commr une
                                                                                                                                                approximation de  \pi.

4  =  [4,000...
                                                                            1 pour 0,7854...  P =  0,7854...

3  =  3,[000...
                                                                            1 pour 1,5280...  P =  1,5280...    ------->  Par conséquent, la pertinence
                                                                                                                                               approximative de  3
                                                                                                                                               relativement à  \pi  est selon
                                                                                                                                               mes critères : excellente !
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{22}{7}  =  3,14[285...
                                                                            3 pour 3,5977...  P =  1,1992...    ------->  Comparable à 355/113 !!

\dfrac{333}{106}  =  3,1415[094...
                                                                            6 pour 4,7351...  P =  0,7892...  

\dfrac{355}{113}  =  3,141592[920...
                                                                            6 pour 7,1509...  P =  1,1918...    ------->  Très bonne mais un tout petit
                                                                                                                                               peu moins  que 22/7.
                                                                                                                                                   => C'est étonant...

\dfrac{103\,993}{33\,102}  =  3,141592653[0\,11...
                                                                            11 pour 9,8160...  P =  0,8924...

\dfrac{104\,348}{33\,215}  =  3,141592653[9\,21...
                                                                            11 pour 9,8944...  P =  0,8995...     ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                 9,8944... de rendues.

\dfrac{208\,341}{66\,317}  =  3,141592653[4\,67...
                                                                            11 pour 10,6105...  P =  0,9646...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  10,6105... de rendues.

\dfrac{312\,689}{99\,532}  =  3,141592653[6\,18...
                                                                            11 pour 11,0723...  P =  1,0066...    ------->  Pour 9 décimales exactes,
                                                                                                                                                  11,0723... de rendues.

\dfrac{833\,719}{265\,381}  =  3,1415926535\,8[107...
                                                                            12 pour 11,7226...  P =  0,9769...    ------->  La progression de P est
                                                                                                                                                   harmonieuse.

\dfrac{1\,146\,408}{364\,913}  =  3,141592653\,5[914...
                                                                            13 pour 12,4873...  P =  0,9606...


\dfrac {21\, 053\, 343\, 141}{6\, 701\, 487\, 259}  =  3,1415926535\,8979323846\,2[38\,1...
                                                                            21  pour  22,1672...  P =  1,0076...

 \dfrac {30\, 246\, 273\, 033\, 735\, 921}{9\, 627\, 687\, 726\, 852\, 338}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,50[7\,44...
                                                                            33  pour  32,8548...  P =  0,9956...

 \dfrac {2\,646\,693\,125\,139\,304\,345}{842\,468\,587\,426\,513\,207}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841[830...
                                                                            37 pour 38,5510...  P =  1,0419...
_______________________________________________________________________________________________

3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,694  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,69[4...
                                                                            44 pour 45,8011...  P =  1,0401...    ------->  Sa pertinence est semblable
                                                                                                                                                   aux précédentes...        
_______________________________________________________________________________________________    

\left(\dfrac{39}{22}\right)^{2}  =   3,14[256...
                                                                            5 pour 3,6915...  P =  0,7383...


\left(\dfrac{296}{167}\right)^2  =  3,14159[704...
                                                                            7 pour 5,8602...  P =  0,8372...

\left(\dfrac{8\,545}{4\,821}\right)^2  =  3,1415926[424...
                                                                            9 pour 8,6439...  P =  0,9604...
_______________________________________________________________________________________________

\left(\dfrac{821}{653}\right)^5  =  3,141592[701...
                                                                            7 pour 7,8497...  P =  1,1214...    ------->  Assez bonne à bonne.

\left(\dfrac{9\,629}{8\,873}\right)^{14}  =  3,141592653[0\,23...
                                                                            10 pour 9,8198...  P =  0,9812...

\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/4}  =  3,14159265[25\,8...
                                                                            7 pour 9,6794...  P =  1,3828...    ------->  Très très bonne !
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{22}{17} + \dfrac{37}{47} + \dfrac{88}{83}  =  3,141592653[4\,67...
                                                                            12 pour 10,5127...  P =  0,8761..    ------->  Pas très bonne mais
                                                                                                                                                     fractions simples...
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{311}{70\sqrt{2}}  =  3,1415[744...
                                                                            7 pour 5,4194...  P =  0,7742...
                                                                            6 pour 5,4194...  P =  0,9032...

\sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}  =  3,141[632...
                                                                            6 pour 4,8730...  P =  0,8122...
                                                                            5 pour 4,8730...  P =  0,9746...
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{6}{5}. \varphi^2  =  3,141[6407...
                                                                            3 pour 4,8468...  P =  1,6156...    ------->  Excellente !!

\left(\dfrac{45.\varphi^{2}}{47 \sqrt{2}}\right)^2  =  3,1415926[848...
                                                                            8 pour 8,0050...  P =  1,0006...
                                                                            7 pour 8,0050...  P =  1,1436...    ------->  Assez bonne.
                                                                                                                                               (Mais non prévue
                                                                                                                                               pour \pi.)

_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{69}{163}+ e  =  3,14159[471...
                                                                            6 pour 6,3448...  P =  1,0575...
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{95.\varphi}{18.e}  =  3,1415[204...
                                                                            6 pour 4,8707...  P =  0.8118...

\dfrac{11}{48} . e^{\varphi^{2}}  =  3,141[5875...
                                                                            6 pour  5,8365...  P =  0,9727...

          ------->  Pas terrible certes, mais il n'y en a pas de meilleure de la forme   \dfrac{a}{a}.e^{\varphi^2}
          Preuve: le développement en fractions continues donne: [4, 2, 1, 3, 1157, 1, 20, 4, 1, 1, 1, ...], ce qui signifie que la prochaine meilleure approximation de cette forme est:

                                                                          \dfrac{55\,549}{1\,270}.e^{\varphi^2}


\left(\dfrac{45\,048}{47\,153}\right)^{2} e^{2 (\varphi-1)}  =  3,1415926535\,8[298...
                                                                            14 pour 11,7832...  P =  0,8417...

\dfrac{5}{7}. e . \varphi  =  3,141[623...
                                                                            4 pour 5,0297...  P =  1,2574...    ------->  Très bonne.

\dfrac{e  .  \varphi}{\sqrt{2}-71/5\,000}  =  3,141592[701...
                                                                            10 pour 7,8477...  P =  0,7848...
                                                                              9 pour 7,8477...  P =  0,8720...
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{\ln{(640\,320^{3}+744)}}{\sqrt{163}}  =  3,1415926535\,8979323846\,2643383279\,[726...
                                                                            15 pour 31,2878...  P =  2,0859...    ------->  Énorme !! !! !
                                                                                                                                                   Même en comptabilisant
                                                                                                                                                   ln comme 1 dans N
                                                                                                                                                   (=> Ultime?)
_______________________________________________________________________________________________


Relativement à  \sqrt{\pi}:

_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{39}{22}  =  1,772[727...
                                                                            4 pour 3,8458...  P =  0,9614...

\dfrac{296}{167}  =  1,77245[508...
                                                                            6 pour 6,3010...  P =  1,0502...

\dfrac{8\,545}{4\,821}  =  1,7724538[477...
                                                                            8 pour 8,8219...  P =  1,1027...    ------->  Assez bonne.
_______________________________________________________________________________________________

\left(\dfrac{2\,143}{22}\right)^{1/8}  =  1,772453850[6\,21...
                                                                            7 pour 9,8397...  P =  1,4057...    ------->  Très très bonne.
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{94\sqrt{2}}{75}  =  1,7724[809...
                                                                            6 pour 4,8468...  P =  0,8078...
                                                                            5 pour 4,8468...  P =  0,9694...
_______________________________________________________________________________________________

\dfrac{379.\varphi}{90.e \sqrt{2}}  =  1,772453[543...
                                                                            9 pour 6,8266...  P =   0,7585...
                                                                            8 pour 6,8266...  P =   0,8533...

\dfrac{7\,361.e}{6\,977.\varphi}  =  1,77245385[11\,4...
                                                                            10 pour 9,8648...  P =  0,9865...

\dfrac{45\,048}{47\,153}.e^{(\varphi-1)}  =  1,7724538509\,0[359...
                                                                            12 pour 11,8916...   P =  0,9910...
_______________________________________________________________________________________________

\sqrt{\dfrac{6}{5}}. \varphi  =  1,7724[6742...
                                                                            5 pour 5,2339...  P =  1,0468...
                                                                            4 pour 5,2339...  P =  1,3085...    ------->  Très bonne !!

\dfrac{45.\varphi^2}{47 \sqrt{2}}  =  1,77245385[97\,2...
                                                                            7 pour 8,5025...  P =  1,2146...    ------->  Très bonne.
                                                                            6 pour 8,5025...  P =  1,4171...    ------->  Très très bonne, elle est
                                                                                                                                               encore meilleure que celle
                                                                                                                                               un peu plus haut.

_______________________________________________________________________________________________


0^0.

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 23-12-15 à 23:21

Bonsoir,

Une approximation de   e   qui explose le record:

\boxed{\left(1+\dfrac{1}{10^{n}}\right)^{10^{n}}    \approx    e    +    un\,nombre\,qui\,tend\,vers\,:    \dfrac {e}{2}  \times  10^{-n}}

Exemple avec n = 9^{9} :

\left(1+\dfrac{1}{10^{9^{9}}}\right)^{10^{9^{9}}}    \approx    e    +    un\,nombre\,qui\,tend\,vers\,:    \dfrac {e}{2}  \times  10^{-9^{9}}

-------- N = 10
-------- p = 387420490-0,5... = 387420489,5


Et regardez bien:

-------- P = 38742048,9500... !! !  !!    !    !

Etonnant non?


Et ce n'est pas tout, observez  la structure de l'écriture décimale de:

\left(\left(\dfrac{e}{\left(1+\dfrac{1}{10^{13}}\right)^{10^{13}}}\right)-1\right) \,\,  =  4,999999999999791666666666677083333333332748263888888924... \times 10^{-14}

Tu en penses quoi LeDino?

(On observe la même chose pour les autres valeurs de n...)


0^0.

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