Bonsoir,
Avec un peu de retard:
Caclul de la Pertinence d'une approximation:
Pour le calcul de la pertinance P des approximations suivantes, je ne comptabiliserai que le nombre de chiffres N qui apparaissent dans la formule approximante, exception faite des puissances (1/n), dans quel cas je ne considèrerai que les chiffres composant n, et pour ce qui est de "", "
", "
" et "
", je ne comptabiliserai pas non plus les "2", et les "1" qui y apparaissent.
- Je considère en effet que , soit:
et
soit:
correspondent à des valeurs remarquables à part entière.
Je ne tiendrai pas non plus compte des oprérateurs utilisés, ni pour l'écriture décimale de l'approximation elle-même de la virgule, sa position étant déterminée par la formule approximante.
Méthode de calcul:
Soient: C : la constante à approximer
V : la valeur de l'approximation
N : le nombre de chiffres significatifs comptabilisés intervenant dans la formule approximante
p : la performance décimale rendue
P (Approx.) : la pertinence de l'approximation étudiée
On commence par calculer: , on transcrit ensuite le résultat sous la forme:
.
Ceci nous permet ensuite de calculer p selon la formule suivante:
,
puis enfin P :
.
Selon ces critères:
Relativement à :
3 pour 0,0253... P = 0,0084... --------> À considérer que 124
puisse être vu commr une
approximation de .
1 pour 0,7854... P = 0,7854...
1 pour 1,5280... P = 1,5280... -------> Par conséquent, la pertinence
approximative de 3
relativement à est selon
mes critères : excellente !
3 pour 3,5977... P = 1,1992... -------> Comparable à 355/113 !!
6 pour 4,7351... P = 0,7892...
6 pour 7,1509... P = 1,1918... -------> Très bonne mais un tout petit
peu moins que 22/7.
=> C'est étonant...
11 pour 9,8160... P = 0,8924...
11 pour 9,8944... P = 0,8995... -------> Pour 9 décimales exactes,
9,8944... de rendues.
11 pour 10,6105... P = 0,9646... -------> Pour 9 décimales exactes,
10,6105... de rendues.
11 pour 11,0723... P = 1,0066... -------> Pour 9 décimales exactes,
11,0723... de rendues.
12 pour 11,7226... P = 0,9769... -------> La progression de P est
harmonieuse.
13 pour 12,4873... P = 0,9606...
21 pour 22,1672... P = 1,0076...
33 pour 32,8548... P = 0,9956...
37 pour 38,5510... P = 1,0419...
44 pour 45,8011... P = 1,0401... -------> Sa pertinence est semblable
aux précédentes...
5 pour 3,6915... P = 0,7383...
7 pour 5,8602... P = 0,8372...
9 pour 8,6439... P = 0,9604...
7 pour 7,8497... P = 1,1214... -------> Assez bonne à bonne.
10 pour 9,8198... P = 0,9812...
7 pour 9,6794... P = 1,3828... -------> Très très bonne !
12 pour 10,5126976 P = 0,8761.. -------> Pas très bonne mais
fractions simples...
6 pour 5,4194... P = 0,9032...
3 pour 4,8730... P = 1,6243... -------> Excelllente !!
3 pour 4,8468... P = 1,6156... -------> Excellente !!
7 pour 8,0050... P = 1,1436... -------> Assez bonne.
(Mais non prévue
pour .)
6 pour 6,3448... P = 1,0575...
6 pour 4,8707... P = 0.8118...
6 pour 5,8365... P = 0,9727...
-------> Pas terrible certes, mais il n'y en a pas de meilleure de la forme
Preuve: le développement en fractions continues donne: [4, 2, 1, 3, 1157, 1, 20, 4, 1, 1, 1, ...], ce qui signifie que la prochaine meilleure approximation de cette forme est:
14 pour 11,7832... P = 0,8417...
4 pour 5,0297... P = 1,2574... -------> Très bonne.
9 pour 7,8477... P = 0,8720...
14 pour 31,2878... P = 2,2348... -------> Énorme !! !! !
Même en comptabilisant
ln comme 1 dans N
(=> Ultime?)
Relativement à :
4 pour 3,8458... P = 0,9614...
6 pour 6,3010... P = 1,0502...
8 pour 8,8219... P = 1,1027... -------> Assez bonne.
7 pour 9,8397... P = 1,4057... -------> Très très bonne.
5 pour 4,8468... P = 0,9694...
8 pour 6,8266... P = 0,8533...
10 pour 9,8648... P = 0,9865...
12 pour 11,8916... P = 0,9910...
6 pour 8,5025... P = 1,4171... -------> Très très bonne, elle est
encore meilleure que celle
un peu plus haut.
Bon milieu de semaine!
0^0.
Bonjour Zeropuiszero,
Tu as abattu une grosse besogne ...
Tes calculs apportent une précision supplémentaire par rapport à la loi empirique simple que j'ai proposée.
Cette précision n'a cependant pas de sens dans certains cas où elle doit être relativisée.
Il est assez facile du reste d'identifier les cas où il faut relativiser : ce sont ceux qui précisément vont au-delà de cette "loi" en présentant un rapport significativement plus grand que 1.
Il s'agit en général de formules dans lesquelles apparaissent des "arbitraires" (ou degrés de liberté si tu préfères ce terme plus "technique" ) non comptabilisés.
Un exemple flagrant :
Est spectaculaire en apparence avec environ 3 pour 5...
... Mais cette formule comprend 3 racines carrées, donc 3 puissances 1/2...
Il y a donc au sens très strict 3 digits supplémentaires.
Ou à tout le moins environ 1 digit "équivalent" si on suppose qu'on s'est autorisé un choix entre 1 et 1/2 pour chaque chiffre...
Mon but n'est pas en disant ça, de contester l'esthétique de la formule qui est vraiment sympathique. Mais juste de rappeler qu'avec des DDL du même ordre on pourra trouver d'autres approximation plus ou moins semblables.
Dit autrement : si on reprend les meilleures approximations basées sur des fractions consommant n chiffres et qu'à leur place on cherche les meilleures approximations avec une puissance 1 ou 1/2 pour le numérateur, le dénominateur ou la fraction dans son ensemble, on va mécaniquement gagner encore au moins un chiffre significatif, alors qu'en apparence on aura le même nombre de chiffres.
Mais dans ce cas c'est ce que j'ai appelé un tour de passe-passe. Une façon artificielle de faire grimper le ratio...
De la même manière, pour les formule impliquant des "symboles" non digitaux :
Ceux-ci doivent faire l'objet d'une définition plus précise de leur domaine de valeurs. Si tu considères (arbitrairement) que phi, phi carré, 1 sur phi, etc... forment un seul symbole, alors il en est de même pour les autres nombres remarquables et de ce fait tu démultiplies les combinaisons, introduisant ainsi par un symbole comptabilisé pour 1, des combinaisons équivalentes à celles obtenues avec 2 ou 3 chiffres... tu consommes donc bien plus qu'un seul "digit équivalent".
Exemple :
Que tu valorises à 6 digits pour 8,5...
Cette formule contient plusieurs DDL non comptabilisés à leur juste valeur.
En, étant plus rigoureux sur le comptage des DDL, tu arriverais à un ratio plus proche de 8 pour 8,5.
En rectifiant cette lacune de la formule du ratio, tu verras que les valeurs nettement supérieures à 1 s'expliquent facilement la plupart du temps.
Il n'y a guère que Ramanujan qui ait produit une formule vraiment exceptionnelle.
Et encore : s'il était là, il nous expliquerait probablement la démarche qui l'a guidé vers ce déluge de chiffres significatifs et nous apprendrions peut-être à en produire de similaires qui ait de belles qualités d'approximation.
Bonjour LeDino,
Déjà, un grad merci pour tes observations qui me permettent d'avancer.
Bonsoir,
Correction et réarangement du post plus haut:
Caclul de la Pertinence d'une approximation:
Pour le calcul de la pertinance P des approximations suivantes, je ne comptabiliserai que le nombre de chiffres N qui apparaissent dans la formule approximante, exception faite des puissances (1/n), dans quel cas je ne considèrerai que les chiffres composant n, et pour ce qui est de "", "
", "
" et "
", je ne comptabiliserai pas non plus les "2", et les "1" qui y apparaissent.
- Je considère en effet que , soit:
et
soit:
correspondent à des valeurs remarquables à part entière.
Les racines carrées étant des puissances (1/2) seront chacunes comptées pour 1.
- [ Je noterai (en vert) cependant dans ce qui suit, les valeurs de N, p et P (voir plus loin) si l'on considére comme un nombre remarquable également, pour les cas où l'on cherche à évaluer une approximation en fonction notamment de
. (Il y aura aussi le cas avec
.) ]
Je ne tiendrai pas non plus compte des oprérateurs utilisés, ni pour l'écriture décimale de l'approximation elle-même de la virgule, sa position étant déterminée par la formule approximante.
Méthode de calcul:
Soient: C : la constante à approximer
V : la valeur de l'approximation
N : le nombre de chiffres significatifs comptabilisés intervenant dans la formule approximante
p : la performance décimale rendue
P (Approx.) : la pertinence de l'approximation étudiée
On commence par calculer: , on transcrit ensuite le résultat sous la forme:
.
Ceci nous permet ensuite de calculer p selon la formule suivante:
,
puis enfin P :
.
Selon ces critères:
Relativement à :
_______________________________________________________________________________________________
3 pour 0,0253... P = 0,0084... --------> À considérer que 124
puisse être vu commr une
approximation de .
1 pour 0,7854... P = 0,7854...
1 pour 1,5280... P = 1,5280... -------> Par conséquent, la pertinence
approximative de 3
relativement à est selon
mes critères : excellente !
_______________________________________________________________________________________________
3 pour 3,5977... P = 1,1992... -------> Comparable à 355/113 !!
6 pour 4,7351... P = 0,7892...
6 pour 7,1509... P = 1,1918... -------> Très bonne mais un tout petit
peu moins que 22/7.
=> C'est étonant...
11 pour 9,8160... P = 0,8924...
11 pour 9,8944... P = 0,8995... -------> Pour 9 décimales exactes,
9,8944... de rendues.
11 pour 10,6105... P = 0,9646... -------> Pour 9 décimales exactes,
10,6105... de rendues.
11 pour 11,0723... P = 1,0066... -------> Pour 9 décimales exactes,
11,0723... de rendues.
12 pour 11,7226... P = 0,9769... -------> La progression de P est
harmonieuse.
13 pour 12,4873... P = 0,9606...
21 pour 22,1672... P = 1,0076...
33 pour 32,8548... P = 0,9956...
37 pour 38,5510... P = 1,0419...
_______________________________________________________________________________________________
44 pour 45,8011... P = 1,0401... -------> Sa pertinence est semblable
aux précédentes...
_______________________________________________________________________________________________
5 pour 3,6915... P = 0,7383...
7 pour 5,8602... P = 0,8372...
9 pour 8,6439... P = 0,9604...
_______________________________________________________________________________________________
7 pour 7,8497... P = 1,1214... -------> Assez bonne à bonne.
10 pour 9,8198... P = 0,9812...
7 pour 9,6794... P = 1,3828... -------> Très très bonne !
_______________________________________________________________________________________________
12 pour 10,5127... P = 0,8761.. -------> Pas très bonne mais
fractions simples...
_______________________________________________________________________________________________
7 pour 5,4194... P = 0,7742...
6 pour 5,4194... P = 0,9032...
6 pour 4,8730... P = 0,8122...
5 pour 4,8730... P = 0,9746...
_______________________________________________________________________________________________
3 pour 4,8468... P = 1,6156... -------> Excellente !!
8 pour 8,0050... P = 1,0006...
7 pour 8,0050... P = 1,1436... -------> Assez bonne.
(Mais non prévue
pour .)
_______________________________________________________________________________________________
6 pour 6,3448... P = 1,0575...
_______________________________________________________________________________________________
6 pour 4,8707... P = 0.8118...
6 pour 5,8365... P = 0,9727...
-------> Pas terrible certes, mais il n'y en a pas de meilleure de la forme
Preuve: le développement en fractions continues donne: [4, 2, 1, 3, 1157, 1, 20, 4, 1, 1, 1, ...], ce qui signifie que la prochaine meilleure approximation de cette forme est:
14 pour 11,7832... P = 0,8417...
4 pour 5,0297... P = 1,2574... -------> Très bonne.
10 pour 7,8477... P = 0,7848...
9 pour 7,8477... P = 0,8720...
_______________________________________________________________________________________________
15 pour 31,2878... P = 2,0859... -------> Énorme !! !! !
Même en comptabilisant
ln comme 1 dans N
(=> Ultime?)
_______________________________________________________________________________________________
Relativement à :
_______________________________________________________________________________________________
4 pour 3,8458... P = 0,9614...
6 pour 6,3010... P = 1,0502...
8 pour 8,8219... P = 1,1027... -------> Assez bonne.
_______________________________________________________________________________________________
7 pour 9,8397... P = 1,4057... -------> Très très bonne.
_______________________________________________________________________________________________
6 pour 4,8468... P = 0,8078...
5 pour 4,8468... P = 0,9694...
_______________________________________________________________________________________________
9 pour 6,8266... P = 0,7585...
8 pour 6,8266... P = 0,8533...
10 pour 9,8648... P = 0,9865...
12 pour 11,8916... P = 0,9910...
_______________________________________________________________________________________________
5 pour 5,2339... P = 1,0468...
4 pour 5,2339... P = 1,3085... -------> Très bonne !!
7 pour 8,5025... P = 1,2146... -------> Très bonne.
6 pour 8,5025... P = 1,4171... -------> Très très bonne, elle est
encore meilleure que celle
un peu plus haut.
_______________________________________________________________________________________________
0^0.
Bonsoir,
Une approximation de e qui explose le record:
Exemple avec n = :
-------- N = 10
-------- p = 387420490-0,5... = 387420489,5
Et regardez bien:
-------- P = 38742048,9500... !! ! !! ! !
Etonnant non?
Et ce n'est pas tout, observez la structure de l'écriture décimale de:
Tu en penses quoi LeDino?
(On observe la même chose pour les autres valeurs de n...)
0^0.
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