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Niveau calculatrices
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Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense.

Posté par
Zeropuiszero
03-12-15 à 01:58

Bonjour,


Voilà un peu plus d'un an que je l'ai découverte sur papier..


Vous m'en direz ce vous en penser, la voici:


\varphi^{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{45}{47} \approx \sqrt{\pi}


\varphi^{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{45}{47} = 1.77245385...

-------------------------------> 8 décimales exactes!



Ce qui nous donne aussi:


\left(\varphi^{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{45}{47}\right)^2 \approx \pi


\left(\varphi^{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} × \frac{45}{47}\right)^2 = 3.1415926...

-------------------------------> 7 décimales exactes!



Géométriquement, cela revient à tracer pour un cercle de rayon 47, un carré de diagonale 45 φ² qui aura une aire approximativement égale.



N'est-ce pas Intéressant? Je n'ai pas connaissance de travaux mentionnant cette trouvaille. Vous si?

Si oui, je vous remercie d'avance de bien vouloir me les faire connaître. Merci d'avance.



Bien cordialement.

Posté par
fm_31
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 03-12-15 à 15:09

Bonjour ,

7 à 8 décimales , c'est pas mal du tout . Cela tient au ratio  45/47  qui lui ne s'explique pas trop et parait tout à fait arbitraire . Mais encore fallait-il le trouver .

Cordialement

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 03-12-15 à 16:54

Bonjour,

C'est le problème avec les approximations en général. Il n'est en effet pas toujours facile de voir si elles présentent un réel intérêt mathématique.

Une question intéressante serait de savoir s'il est si facile que ça de trouver des approximations aussi simples et bonnes. Il faudrait voir si des programmes spécialement conçus pour en trouver, en trouve une multitude de similaire ou au contraire relativement peu.

Bien cordialement.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 03-12-15 à 17:38

Citation :
Une question intéressante serait de savoir s'il est si facile que ça de trouver des approximations aussi simples et bonnes. Il faudrait voir si des programmes spécialement conçus pour en trouver, en trouve une multitude de similaire ou au contraire relativement peu.
Evidemment oui : tu peux faire un ajustement d'une formule paramétrée qui approche au mieux une valeur cible. Ca revient grosso modo à une recherche de minimum d'erreur, sous contrainte du domaine de variation des paramètres de ta formule.

Ton approximation :     \boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^4}{2} \left(\dfrac{45}{47}\right)^2 }

Forme plus "générale" :     \boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{X^a}{b} \left(\dfrac{c}{d}\right)^e }

Donc au total pour 8 chiffres significatifs :
6 "paramètres" (a, b, c, d, e, et X),  tous naturels sauf X (nombre "remarquable").
Plages restreintes pour a, b,  e.
Plage plus large pour c et d.

A comparer par exemple avec :  22/7  (3 chiffres significatifs)  et  355/113  (7 chiffres significatifs)...

Conclusion : formule rigolote... Mais on peut en fabriquer des tas et des tas d'autres ...

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 03-12-15 à 23:10

Zeropuiszero

Une question intéressante serait de savoir s'il est si facile que ça de trouver des approximations aussi simples et bonnes. Il faudrait voir si des programmes spécialement conçus pour en trouver, en trouve une multitude de similaires ou au contraire relativement peu.

LeDino

Evidemment oui : tu peux faire un ajustement d'une formule paramétrée qui approche au mieux une valeur cible. Ca revient grosso modo à une recherche de minimum d'erreur, sous contrainte du domaine de variation des paramètres de ta formule. [...]

Merci LeDino pour ces explications très claires.

Si j'ai bien compris, mon approximation de \sqrt{\pi} se réduisant à la forme: \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx \frac{\varphi^{2}}{\sqrt{2}} × \frac{45}{47} }

l'expression générale que je recherche sera plutôt de la forme:  \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{\sqrt{2}} × \dfrac{a}{b}}

avec donc non pas 6 mais seulement 3 paramètres: (X, a et b), tous naturels sauf X (un nombre "remarquable"), a et b ayant chacun dans mon approximation seulement 2 chiffres significatifs.

Par conséquent, si j'ajuste ton approche à mes critères, il en résulte que mon approximation de \sqrt{\pi} reste relativement simple, ne comportant en réalité que 6 chiffres significatifs, \varphi^{2} pouvant être considéré comme un nombre "remarquable".

Je rappelle de plus que la forme:  \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{\sqrt{2}} × \dfrac{a}{b} } et ses variantes sont notamment intéressantes dans le sens où
b correspond au rayon du cercle pour lequel un carré de diagonale X × a × \dfrac{\sqrt{2}}{2} aura une aire approximativement égale.


LeDino

A comparer par exemple avec :  22/7  (3 chiffres significatifs)  et  355/113  (7 chiffres significatifs)...

Conclusion : formule rigolote... Mais on peut en fabriquer des tas et des tas d'autres ...

22/7 est très simple mais peu précise.

355/113 est excellentissime. Elle possède également 6 chiffres significatifs mais pas de nombre remarquables...

Alors à comparer... Je ne sais pas...

Pour vérifier si ce genre d'approximation est exceptionnelle ou pas, on pourrait imaginer des programmes les recherchant toutes, par précision et forme souhaitée. Ils pourraient donc examiner entre autre des formes comme:

\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{a}{b} }

\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  X × \dfrac{a}{b}}     \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{1}{X} × \dfrac{a}{b}} ----->  (avec Y un deuxième nombre "remarquable")

\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  {X} × {Y} × \dfrac{a}{b}}      \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{Y} × \dfrac{a}{b}}

\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X × Y}{Z} × \dfrac{a}{b}}      \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{X}{Y × Z} × \dfrac{a}{b}} ----->  (avec Z un troixième nombre "remarquable")

et pourquoi pas aussi des formes comme:

\boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}}    ou même, celle-ci plus intéressante:   \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}}

En effet, cette forme:  \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{\sqrt{c^{2}+d^{2}}}} est intéressante dans le sens où  \sqrt{a^{2}+b^{2}} et  \sqrt{c^{2}+d^{2}} sont la

plupart du temps des irrationnels avec  \sqrt{c^{2}+b^{2}} correspondant au rayon du cercle pour lequel un carré de coté

 \sqrt{a^{2}+b^{2}} aura une aire approximativement égale.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 01:54

Escamoter des puissances arbitraires en introduisant des racines non moins arbitraires, c'est un joli tour de passe-passe...
... Mais ça change rien au final, si on comptabilise les tours de passe-passe comme des opportunités démultipliant les chances de tomber sur un résultat remarquable .

Ta formule est sympa.
Elle te plait manifestement.
Que veux-tu de plus ?

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 02:24

Exemple trouvé à la va vite sur tableur :

\left(\dfrac{821}{653}\right)^5 \simeq 3.1415927

Avec une précision comparable à la tienne...
Juste pour dire que quand on cherche... on trouve .

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 02:41

\left(\dfrac{9629}{8873}\right)^{14} \simeq 3.141592654
Empiriquement on retrouve une précision en chiffres significatifs du même ordre que le nombre de chiffres utilisés dans la formule...

Posté par
fm_31
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 09:28

Si on cherche un lien entre    et    , il y a des formules rigoureuses comme   = 2 cos(/5)

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 15:01

Ou aussi :    \boxed {  cos \pi = \varphi - \varphi^2  }    

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 18:25

@zeropuiszero :

Une approximation que tu devrais apprécier :   \boxed {  \dfrac{5}{6} \varphi^2 \simeq 3.1416  }

Relation entre  \pi  et le "remarquable"  \varphi^2  utilisant seulement deux chiffres de "paramétrage" et produisant une approximation à 5 chiffres significatifs. Si on considère le choix de  \varphi^2  comme "valant" 1 à 2 digits (choix parmi 10 à 100 nombres remarquables...), alors la relation a un très bon ratio "digits significatifs/digits requis", qui la rend assez particulière..

C'est une trouvaille rapportée par  améthyste,  un habitué du forum, fervent amateur de coïncidences inspirées par la Grande Pyramide (qui a fait couler beaucoup d'encre).

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 19:29

Si on teste la relation :   \boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^a}{b} \left(\dfrac{c}{d}\right)^e }

... en "fixant" arbitrairement   a=4,  b=2,  e=2 ...   donc   \boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^2}{2} \left(\dfrac{c}{d}\right)^2 }

... la meilleure approximation est de très loin celle de zeropuiszero, avec 8 chiffres significatifs :

\boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^2}{2} \left(\dfrac{45}{47}\right)^2 \simeq 3.1415927  }

La deuxième meilleure solution tombe à seulement 4 chiffres significatifs.
Donc la coïncidence est élevée.

En fixant a=b=1, en gardant d=2, les meilleurs c et d à 3 chiffres donnent 7 significatifs, ce qui est pas mal (mais un peu moins sexy que la précédente).

\boxed{  \pi \simeq \varphi \left(\dfrac{889}{638}\right)^2 \simeq 3.141592 }

Posté par
fm_31
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 19:36

5 ²/6   donne  2.18   et pas 3.14

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 04-12-15 à 19:50

Ah oui zut, désolé : c'est 6/5 et non 5/6.
Merci pour l'alerte  fm_31   !

\boxed {  \dfrac{6}{5} \varphi^2 \simeq 3.1416  }

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 05-12-15 à 11:42

LeDino

Escamoter des puissances arbitraires en introduisant des racines non moins arbitraires, c'est un joli tour de passe-passe...
... Mais ça change rien au final, si on comptabilise les tours de passe-passe comme des opportunités démultipliant les chances de tomber sur un résultat remarquable .

Ta formule est sympa.
Elle te plait manifestement.
Que veux-tu de plus ?

Elle me plaît, notamment car elle permet un tracé géométrique très simple (au compas et à la règle non graduée).

L'excamotage des puissances n'est donc pas du tout arbitraire, il correspond à ce que je recherche: des formules facilement traçables.

LeDino

Exemple trouvé à la va vite sur tableur :

\left(\dfrac{821}{653}\right)^5 \simeq 3.1415927

Avec une précision comparable à la tienne...
Juste pour dire que quand on cherche... on trouve .

Bonne précision en effet!

Mais comment en réalises-tu un tracé simple?

LeDino

\left(\dfrac{9629}{8873}\right)^{14} \simeq 3.141592654
Empiriquement on retrouve une précision en chiffres significatifs du même ordre que le nombre de chiffres utilisés dans la formule...

Pas facile à tracer non plus.

fm_31

Si on cherche un lien entre    et    , il y a des formules rigoureuses comme   = 2 cos (/5)

Oui mais les formules rigoureuses comme celles-ci ne cachent aucun mystère...

LeDino

Ou aussi :    \boxed {  cos  \pi = \varphi - \varphi^2  }    

Pas mal celle là

LeDino

@zeropuiszero :

Une approximation que tu devrais apprécier :   \boxed {  \dfrac{6}{5} \varphi^2 \simeq 3.1416  }

Relation entre  \pi  et le "remarquable"  \varphi^2  utilisant seulement deux chiffres de "paramétrage" et produisant une approximation à 5 chiffres significatifs. Si on considère le choix de  \varphi^2  comme "valant" 1 à 2 digits (choix parmi 10 à 100 nombres remarquables...), alors la relation a un très bon ratio "digits significatifs/digits requis", qui la rend assez particulière..

Je l'apprécie beaucoup en effet. Elle est très surprenante!!

Dino

C'est une trouvaille rapportée par  améthyste,  un habitué du forum, fervent amateur de coïncidences inspirées par la Grande Pyramide (qui a fait couler beaucoup d'encre).

Je connais améthyste, je discute rédulièrement avec lui, d'ailleurs je lui en ai parlé de mon approx., il la trouve intéressante..

C'est en effet une relation connue depuis l'ancienne Egypte. Un cerle de 10 poings de diamètre (1 poing = 10,000 cm) a une circonférence de 1 coudée royale (5,236 poings) + \varphi^2 coudées royales (26,180 poings) soit (31,416 poings).

5 coudées royales de l'A.E. \simeq  \varphi^2 poings
6 coudées royales de l'A.E. \simeq  \pi poings

1 coudées royales de l'A.E. \simeq  \dfrac{\pi^2}{6} poings

d'où la relation:   6 \varphi^2   \simeq   5 \pi^2

etc.

LeDino

Si on teste la relation :   \boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^a}{b} \left(\dfrac{c}{d}\right)^e }

... en "fixant" arbitrairement   a=4,  b=2,  e=2 ...   donc   \boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^2}{2} \left(\dfrac{c}{d}\right)^2 }

... la meilleure approximation est de très loin celle de zeropuiszero, avec 8 chiffres significatifs :

\boxed{  \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^2}{2} \left(\dfrac{45}{47}\right)^2 \simeq 3.1415927  }

La deuxième meilleure solution tombe à seulement 4 chiffres significatifs.
Donc la coïncidence est élevée.

En fixant a=b=1, en gardant e=2, les meilleurs c et d à 3 chiffres donnent 7 significatifs, ce qui est pas mal (mais un peu moins sexy que la précédente).

\boxed{  \pi \simeq \varphi \left(\dfrac{889}{638}\right)^2 \simeq 3.141592 }

[note: j'ai corrigé en rouge et gras la petite erreur de frappe.]

Relativement à ce thème, je me suis un peu amusé... Vois ce qui suit:

Prenons pour exemple notre  \dfrac{6}{5} \varphi^2 \simeq 3.1416 . En isolant la partie  \left(\dfrac{a}{b}\right)  cela nous donne:     \dfrac{6}{5} \simeq \dfrac{\pi}{\varphi^2}

Le calcule du développement en fractions continues de   \dfrac{\pi}{\varphi^2}   donne:  [1, 5, 2175, 2, 8, 60, 5, 6, 15, 3, 1, 2, 1, ... ].
En choissant la 2 ème approximation que permet ce développement en fractions continues, l'on bénéficie de ce 3 ème terme: 2175 qui est considérablement grand, ce qui permet d'obtenir ce très bon rapport:

-----> \left(\dfrac{a}{b}\right)  =   \dfrac{6}{5} .

Or, si je fais la même chose avec mon approx. \boxed{ \sqrt{\pi}  \approx \dfrac{\phi^{2}}{\sqrt{2}} . \dfrac{45}{47} }, en calculant donc le développement en fractions continues de \dfrac{\sqrt{2.\pi}}{\phi^{2}} l'on trouve: [0, 1, 22, 2, 95041, 3, 1, 7, 7, 7, 1, 40, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 6, 1, 2, 2, ...].

Observe bien le 5 ème terme:    95041 !!!    = >   Dingue non?

En choissant la 4 ème approximation que permet ce développement en fractions continues, l'on bénéficie cette fois de ce 5 ème terme: 95041 qui est donc encore beaucoup plus grand, d'où ce rapport probablement le meilleur possible (???):

-----> \left(\dfrac{a}{b}\right)  =   \dfrac{45}{47} .

(A titre indicatif, si l'on analyse le développement en fractions continues de , l'excellente 355/113 bénéficie d'un 5 ème terme bien moindre: [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ... ].)

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 05-12-15 à 12:57

Citation :
Mais comment en réalises-tu un tracé simple ?

Bonjour zéropuiszéro,

Je n'ai pas cherché à entrer en compétition avec ta formule.
Du reste tu n'as pas défini son cadre de réflexion.

Je t'ai juste donné des exemples simples dans leur expression, et plus ou moins "paramétrés", autrement dit : avec plus ou moins de degrés de liberté dans leur construction, pour d'une part répondre à ta question sur la possibilité de systématisation de la recherche (dont la réponse est clairement OUI) et d'autre part proposer un cadre de réflexion à ta question très ouverte sur  "l'intérêt"  de ta formule. Ici : lien entre digits "consommés" en entrée et digits significatifs en sortie.

Pour évaluer sérieusement cette notion d'intérêt, il faudrait creuser le sens qu'on veut lui donner, et proposer un cadre mathématique à partir duquel on pourrait avoir une réflexion construite.

Pour le reste, je ne trouve aucun "mystère" dans ces formules. Juste des coïncidences plus ou moins amusantes.

En particulier, je trouve plus d'intérêt à la formule de  fm_31,  comme à n'importe quelle formule analytique qui établit par exemple PI comme limite d'une expression simple...

Et je trouve incomparablement plus de "mystère" dans le fait de savoir (ou de supposer, car je ne suis pas certain que cette conjecture soit à ce jour confirmée) qu'on peut trouver dans la suite décimale de PI, les mille premiers chiffres de PHI ou du nombre d'Euler. Et j'ai dit mille comme j'aurais pu dire un million ou un milliard ou un gogol... On peut aussi y trouver la Bible ou les œuvres réunies de Victor Hugo ou de Shakespeare ou encore l'ADN de tous les individus ayant vécu sur Terre depuis l'apparition de la vie.

A coté de ça, huit malheureuses décimales qui font les malignes, c'est "sympa"... mais ce n'est pas ça qui va m'exciter .
A la rigueur quelqu'un qui produirait 50 décimales avec une poignée de chiffres en entrée, ça oui ça m'impressionnerait...

Tu trouveras probablement un meilleur "client" que moi avec améthyste, je crois qu'il aime bien ces trucs .

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 06-12-15 à 00:19

En parlant d'Améthyste, j'ai relu plus haut et je viens de m'appercevoir que quelques erreurs se sont glissées dans mes lignes. Veuillez m'en excuser.

Voici la correction:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C'est en effet une relation connue depuis l'ancienne Egypte:

Un cerle de 10 poings de diamètre (1 poing = 10,000 cm) a une circonférence de 1 coudée royale (5,236 poings) + \varphi^2 coudées royales (26,180 poings) soit (31,416 poings).

5 coudées royales de l'A.E. \simeq  \varphi^2 poings
6 coudées royales de l'A.E. \simeq  \pi poings

1 coudées royales de l'A.E. \simeq  \dfrac{\pi}{6} poings

d'où la relation:   6 \varphi^2   \simeq   5 \pi

etc.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 06-12-15 à 01:03

Bonsoir LeDino,

LeDino

Citation :
Mais comment en réalises-tu un tracé simple ?

Bonjour zéropuiszéro,

Je n'ai pas cherché à entrer en compétition avec ta formule.
Du reste tu n'as pas défini son cadre de réflexion.

Oui c'est vrai, je ne l'ai sans doute pas formulée assez clairement. J'ai bien essayé quelques pistes, mais sans très grand succés à ce que je vois.
Dois-je pourtant en conclure que ce que j'ai mis en évidence avec les fractions continues avec ce 95041 qui apparaît en 5 ème terme, n'est au fond qu'un simple hasard sans réelle signification mathématique? Comment le savoir? (Je ne suis pas mathématicien de formation...)

LeDino

Je t'ai juste donné des exemples simples dans leur expression, et plus ou moins "paramétrés", autrement dit : avec plus ou moins de degrés de liberté dans leur construction, pour d'une part répondre à ta question sur la possibilité de systématisation de la recherche (dont la réponse est clairement OUI) et d'autre part proposer un cadre de réflexion à ta question très ouverte sur  "l'intérêt"  de ta formule. Ici : lien entre digits "consommés" en entrée et digits significatifs en sortie.

Oui et d'ailleurs je tiens à t'en remercier. Tes observations m'ont été utiles pour mettre un peu de clarté dans mes propos. Trop peu sans doute, je le déplore, mais ce n'est que de mon fait, pas du tien.  

LeDino

Pour évaluer sérieusement cette notion d'intérêt, il faudrait creuser le sens qu'on veut lui donner, et proposer un cadre mathématique à partir duquel on pourrait avoir une réflexion construite.

Bien, je vais m'arrêter là pour le moment, car il me manque à l'évidence les moyens pour le faire.

LeDino

[...]

A coté de ça, huit malheureuses décimales qui font les malignes, c'est "sympa"... mais ce n'est pas ça qui va m'exciter .
A la rigueur quelqu'un qui produirait 50 décimales avec une poignée de chiffres en entrée, ça oui ça m'impressionnerait...

C'est que j'ai sans doute aucune profonde raison de m'émerveiller de ce 5 ème terme du développement en

fraction(s) continue(s) de \dfrac{\sqrt{2.\pi}}{\phi^{2}} qui donne: [0, 1, 22, 2, 95041, 3, 1, 7, 7, 7, 1, 40, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 6, 1, 2, 2, ...].

En effet, tu as sans doute raison, ce n'est peut-être qu'une simple coïncidence sans aucune signification mathématique.

Comment savoir?

LeDino

Tu trouveras probablement un meilleur "client" que moi avec améthyste, je crois qu'il aime bien ces trucs .

J'attends ses observations.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 06-12-15 à 12:10

Bonjour,

Je découvre les fractions continues, que je ne connaissais pas.
Manifestement, ton 5ème terme à  95041  est très élevé.
Et cela correspond effectivement à un saut qualitatif de la meilleure fraction approchée qui en découle juste au stade précédent ce 5ème terme.

Autrement dit :  45/47  est de fait une excellente approximation du réel racine(2.Pi)/phi²

Néanmoins, je te redis ce que j'ai déjà observé plus haut : si pour une raison objective qui t'appartient, tu estimes que la formule d'approximation que tu cherches doit avoir précisément cette forme, alors la coïncidence est plus frappante.

Si en revanche, tu te laisses un choix tout à fait libre sur la forme de la formule, alors tu introduis des degrés de liberté qui multiplient les possibilités. Et parmi toutes les possibilités engendrées par la combinatoire de ces degrés de libertés, il y en aura forcément certaines qui seront meilleures que les autres.

Les degrés de liberté augmentent les chances de produire une bonne approximation, ce qui revient à dire qu'on augmente les chances d'avoir une composante de fraction continue qui augmente fortement au rang suivant l'approximation retenue comme bonne.

Le fait de choisir le coefficient 2 en facteur de Pi, puis de prendre la puissance 1/2, puis de diviser par phi, élevé lui même à la puissance 2...
... ce sont des choix arbitraires, donc correspondant à des degrés de liberté... qui amoindrissent la force de la coïncidence.
Ou si tu préfères en le disant à l'envers : ton terme 95041  est artificiellement "dopé" par les choix "judicieux" faits sur ces degrés de liberté.

On tourne toujours autour de la même conclusion : ton approximation est très bonne.
Mais elle n'est pas "incroyablement bonne".
C'est une trouvaille, et il ne doit pas être immédiat d'en trouver d'autres de même qualité. Mais elle reste plausible et en tout cas à mon sens, nullement mystérieuse.

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 08-12-15 à 23:55

Bonsoir,

LeDino

Je découvre les fractions continues, que je ne connaissais pas.
Manifestement, ton 5ème terme à  95041  est très élevé.
Et cela correspond effectivement à un saut qualitatif de la meilleure fraction approchée qui en découle juste au stade précédent ce 5ème terme.

Autrement dit :  45/47  est de fait une excellente approximation du réel racine(2.Pi)/phi²

En effet, la prochaine meilleure approximation de   \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{\varphi^2}}   de la forme   \left(\dfrac{a}{b}\right)   est:    \dfrac{4276867}{4 466 950} .

Autrement dit : tous les nombres rationnels compris entre   \dfrac{45}{47}   et    \dfrac{\sqrt{2 \pi}}{\varphi^2}}    ont un dénominateur   \ge   4 466 950 ,
on passe directement de   \dfrac{45}{47}   à   \dfrac{4 276 867}{4 466 950} .

LeDino

Le fait de choisir le coefficient 2 en facteur de Pi, puis de prendre la puissance 1/2, puis de diviser par phi, élevé lui même à la puissance 2...
... ce sont des choix arbitraires, donc correspondant à des degrés de liberté... qui amoindrissent la force de la coïncidence.
Ou si tu préfères en le disant à l'envers : ton terme 95041  est artificiellement "dopé" par les choix "judicieux" faits sur ces degrés de liberté.

"Artificiellement" et "judicieux", cela me semble être contradictoire, car si c'est artificiel c'est que ce n'est pas réellement pertinent. Or, par définition, la pertinence est justement dans ce qui fait que ce choix peut être qualifié de judicieux...

LeDino

On tourne toujours autour de la même conclusion : ton approximation est très bonne.
Mais elle n'est pas "incroyablement bonne".

Oui, je suis d'avis par exemple que 355/113 est comparativement meilleure, notamment du fait qu'une construction géométrique relativement simple également, lui est associée :

Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense.

On la doit à Jacob de Gelder (1765- 1848), c'est une construction géométrique de 16/113 rendue par le segment [AH], sachant que 3 + 16/113 = 355/113.

CD = 1
CE = 7/8
AF = 1/2
(FG) // (CD)
(FH) // (EG)

AH = 4² / (7² + 8²)

LeDino

C'est une trouvaille, et il ne doit pas être immédiat d'en trouver d'autres de même qualité. Mais elle reste plausible et en tout cas à mon sens, nullement mystérieuse.

Elle n'est certes pas mystérieuse dans le sens où elle renfermerait par exemple : "les secrets de l'Uuniver", de "la vie éternelle" ou que sais-je encore... Elle l'est toutefois dans un sens plus restreint, celui qu'il pourrait fort bien se cacher derrière son indéniable "qualité", une raison mathématique que j'ignore. Simplement.

J'en suis bien conscient, cette petite "trouvaille" a beau encore m'étonner, ce n'est toutefois pas le "Saint Graal"...

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 09-12-15 à 01:52

Citation :
"Artificiellement" et "judicieux", cela me semble être contradictoire, car si c'est artificiel c'est que ce n'est pas réellement pertinent.
Tu devrais réviser ton vocabulaire .
Artificiel signifie "fabriqué" par opposition à naturel ou fortuit.
Il n'y a donc AUCUNE contradiction entre artificiel et judicieux.
Un barrage artificiel est judicieux si il est bien conçu et répond aux attentes qui ont motivé sa construction.

Depuis le début de cet échange je vois bien que tu as du mal à saisir ce que j'essaie de t'expliquer en réponse à la question que TU as posée.

Pour élaborer ta formule, tu as fais des CHOIX et ces choix sont de ton fait donc ils sont arbitraires. D'autres choix auraient pu te conduire toi, ou un autre, à découvrir d'autres formules. Le fait d'avoir tous ces choix possibles multiplie les opportunités d'en trouver un qui s'agence particulièrement bien, comme celui que tu as trouvé.

Donc ta formule présente un certain intérêt... mais elle n'est pas exceptionnelle au sens où en généralisant ce que tu as fait, on pourrait en trouver bien d'autres.

Est-ce que c'est plus clair ainsi ?

Citation :
Elle n'est certes pas mystérieuse... dans le sens où elle renfermerait par exemple : "les secrets de l'Univers", de "la vie éternelle" ou que sais-je encore... Elle l'est toutefois dans un sens plus restreint, celui qu'il pourrait fort bien se cacher derrière son indéniable "qualité", une raison mathématique que j'ignore.
Aucunement.

C'est juste une "rencontre amusante" que tu as faite.
Comme tu es sensible au sujet et que la rencontre est remarquable, il y a de quoi en faire une anecdote... dont chacun pourra apprécier la saveur selon ses goûts.

Mais il n'y a AUCUN mystère là dedans, en tout cas sûrement pas au plan mathématique.
S'il suffisait de qualifier de mystérieux tout ce qu'on ne comprend pas, je connais des tas de gens qui trouveraient une équation du second degré "mystérieuse" .

Posté par Profil amethystere : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 09-12-15 à 02:15

Salut  

...juste un aparté car je suis même pas ici -je suis en téléportation télépathique uniquement-en fait j'ai pas trop le temps en ce moment de penser à tout ça-

Citation :
Le Dino
Mais il n'y a AUCUN mystère là dedans, en tout cas sûrement pas au plan mathématique.


sur le plan mathématique certes c'est exact mais sur le plan humain ça reste un mystère... or qui fait des maths sinon les humains ? Que je sache c'est pas mon chat qui en fait non ?

bah nous tous (donc toi aussi) on se fiche pas mal des mystères de l'univers, des exos planètes , de la mécanique quantique, des océans sur terre, de la vie après la mort si elle existe  et de tout le toutim car le premier des mystères celui qui fascine le plus avant tous les autres c'est bien le mystère des mathématiques et le reste à coté c'est bien fade (voire complètement nul )   et même si c'est pas nul (voire intéressant ) eh bien juste par esprit de contradiction on dira quand même que tout le reste c'est du VENT  et on aura encore raison

n'est-ce pas ?

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 09-12-15 à 05:41

Citation :
sur le plan mathématique certes c'est exact mais sur le plan humain ça reste un mystère...
Bonjour amethyste,

Je te remercie pour ton intervention puisque tu me donnes explicitement raison .
Je dis depuis le début qu'il n'y a pas de mystère au plan mathématique et que si mystère il y a, il est purement humain.

Que l'humain aime fabriquer du mystère à son goût... j'espère que même pour toi ce n'est plus un mystère ...

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 09-12-15 à 18:34

Salut LeDino,

LeDino

Citation :
"Artificiellement" et "judicieux", cela me semble être contradictoire, car si c'est artificiel c'est que ce n'est pas réellement pertinent.

Tu devrais réviser ton vocabulaire .
Artificiel signifie "fabriqué" par opposition à naturel ou fortuit.
Il n'y a donc AUCUNE contradiction entre artificiel et judicieux.
Un barrage artificiel est judicieux si il est bien conçu et répond aux attentes qui ont motivé sa construction.

Je pense, mais peut-être que c'est n'importe quoi, c'est possible, que toi aussi tu ne m'as pas bien compris...
Je réfléchissais à ce qui peut être qualifié de "naturel" et d' "artificiel" non pas dans la vie courante, mais en mathématique.
Or, il n'est pas évident de savoir déjà, si ce que nous appelons "les mathématiques" est fabriqué, se réduisant donc uniquement à une production de la pensée logique (humaine) ou au contraire 'naturel' et implicite, totalement indépendant de nous êtres pensants et parfois logiques, car il y a deux écoles...
Les mathématiques ne sont en tout cas pas à comparer à une réalisation concrête comme un barrage hydroélectrique, même si elles sont utiles à sa conceptualisation. Ton image ne vaut donc pas comme argument.
Je ne suis absolument pas d'accord non plus pour dire que ce qui est naturel serait fortuit! On pourrait même affirmer tout le contraire avec grand poids.
Bref, le problème c'est donc bien qu' 'artificiellement' et 'judicieux' en un sens mathématique sont difficilement définissables, d'où ce problème de vocabulaire que tu soulignes en effet.
Pour ce qui concerne les mathématiques prises en elles-mêmes, dans le cas où elles ne seraient pas qu'un simple formalisme, mais une réalité en soi : 'artificiel' pourrait bien être accepté comme synomyne de 'non judicieux' dans le sens péjoratif de 'factice', tandis que 'judicieux' qualifierait plutôt nos choix et formulations mathématiques lorqu'ils seraient pertinents, autrement dit lorsqu'ils relèveraient d'une raison intrinsèque.

LeDino

Pour élaborer ta formule, tu as fais des CHOIX et ces choix sont de ton fait donc ils sont arbitraires.

Ce n'est pas parce que j'ai fait des CHOIX et qu'ils sont donc en un sens 'arbitraires', c'est vrai, que ces 'choix', puisque ce seraient des CHOIX, n'auraient pas de pertinence intrinsèque.

C'est cela que toi tu ne sembles pas bien comprendre.

LeDino

D'autres choix auraient pu te conduire toi, ou un autre, à découvrir d'autres formules. Le fait d'avoir tous ces choix possibles multiplie les opportunités d'en trouver un qui s'agence particulièrement bien, comme celui que tu as trouvé.

Donc ta formule présente un certain intérêt... mais elle n'est pas exceptionnelle au sens où en généralisant ce que tu as fait, on pourrait en trouver bien d'autres.

Est-ce que c'est plus clair ainsi ?

Serais-tu en train de dire que le fait découvrir par hasard une relation ou une formule intérressante, lui interdirait de ce simple fait d'être fondamentalement pertinente?

C'est intéressant comme approche, j'y réfléchirai... C'est vrai qu'on peut voir les choses ainsi, à condition que la réalité mathématique soit indissociable de son formalisme, autrement dit son fond de sa forme, autremant dit encore dans le cas où les mathématiques elles-mêmes ne seraient qu'une création de la pensée humaine...

LeDino

Citation :
Elle n'est certes pas mystérieuse... dans le sens où elle renfermerait par exemple : "les secrets de l'Univers", de "la vie éternelle" ou que sais-je encore... Elle l'est toutefois dans un sens plus restreint, celui qu'il pourrait fort bien se cacher derrière son indéniable "qualité", une raison mathématique que j'ignore.

Aucunement.

C'est juste une "rencontre amusante" que tu as faite.

[...]

Mais il n'y a AUCUN mystère là dedans, en tout cas sûrement pas au plan mathématique.

Ça, excuse moi, mais tu n'en sais rien. Il y a de fortes raisons de le supposer effectivement, mais tu ne peux pas l'affirmer comme ça.

Tu ne peux que le CROIRE.

LeDino

S'il suffisait de qualifier de mystérieux tout ce qu'on ne comprend pas, je connais des tas de gens qui trouveraient une équation du second degré "mystérieuse" .

Ce n'est pas qu'une histoire d'imcompréhension, il y a aussi une part d'étonnement là dedans.

Mais tout le monde, c'est vrai, ne s'étonne pas des mêmes choses et il est toujours possible de s'émerveiller de ce qui n'est au fond qu'une trivialité... (L'inverse est possible aussi...)

Nous ne sommes pas égaux...



LeDino

amethyste

sur le plan mathématique certes c'est exact mais sur le plan humain ça reste un mystère...

Bonjour amethyste,

Je te remercie pour ton intervention puisque tu me donnes explicitement raison .

Je n'en suis pas sûr, car je me retrouve tout-à-fait dans ces propos d'Améthyste.

En fait ce qu'il dit là concilie nos deux approches.

LeDino

Je dis depuis le début qu'il n'y a pas de mystère au plan mathématique et que si mystère il y a, il est purement humain.

Le "plan mathématique" ce n'est pas nécessairement le formalisme du même nom.

LeDino

Que l'humain aime fabriquer du mystère à son goût... j'espère que même pour toi ce n'est plus un mystère ...

Artificiellement?

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 09-12-15 à 18:40

Salut Améthyste,

amethyste

Citation :
Le Dino
Mais il n'y a AUCUN mystère là dedans, en tout cas sûrement pas au plan mathématique.


sur le plan mathématique certes c'est exact mais sur le plan humain ça reste un mystère... or qui fait des maths sinon les humains ? Que je sache c'est pas mon chat qui en fait non ?

Les humains, s'étonnent, s'émeuvent s'interrogent sur des structures éternelles, principalement parce qu'elles n'ont rien d'arbitraires... Donc, évidemment, si mystère il y a, ce dernier ne peut être que pour nous, de notre point de vue humain et donc pas de celui du Logos éternel.

Je ne dis pas autre chose...

amethyste

bah nous tous (donc toi aussi) on se fiche pas mal des mystères de l'univers, des exos planètes, de la mécanique quantique, des océans sur terre, de la vie après la mort si elle existe  et de tout le toutim car le premier des mystères celui qui fascine le plus avant tous les autres c'est bien le mystère des mathématiques et le reste à coté c'est bien fade (voire complètement nul )   et même si c'est pas nul (voire intéressant ) eh bien juste par esprit de contradiction on dira quand même que tout le reste c'est du VENT  et on aura encore raison

n'est-ce pas ?

Tout à fait.

Le formalisme des mathématiques nous relie à la mathématique fondamentale du Logos éternel.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 14:53

Bonjour zéropuiszéro,

Je ne répondrai pas point par point à ton avant dernière intervention, celle qui m'est adressée. Elle part dans dix directions, qui sont pour la plupart des fausses pistes de faux débats.
Y répondre demanderait un investissement et une énergie qui à mon avis seraient un grand gaspillage.

Tu sembles être aussi rigoureux dans ton éthique du débat que dans la formalisation mathématique de tes questionnements. Tu détournes, dénatures et confonds mes explications, au lieu de leur chercher le sens qui aurait pu apporter de la valeur et t'éclairer quant à ton questionnement initial. Dit autrement : tu es sur la défensive au lieu de chercher à construire avec moi.

Soit.
Tant pis.
Ce n'est pas grave : je crois que c'est le signe de ce qu''on est simplement aux limites de ce qu'on peut s'apporter mutuellement toi et moi.

Pour ma part, je te remercie pour deux choses : ton questionnement de départ, que je trouve intéressant et auquel j'ai fait l'effort de réfléchir et de tenter de proposer un modèle de réflexion pour pouvoir dire des choses un peu construites. Je pense que la notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs est une approche qui a du potentiel... et que d'autres ont probablement exploré bien mieux que je ne l'ai fait très timidement.

Je te remercie aussi pour ton invitation à découvrir les fractions continues, dont j'ignorais l'existence, et qui semblent être en lien avec l'écriture décimale (ou tout autre système d'écriture) des nombres réels.

Je crains beaucoup de ne pas avoir réussi à t'apporter autant que tu m'as apporté... et j'observe avec un peu de tristesse que mes interventions t'ont pris à rebrousse poil plutôt qu'intéressé sur leur fond. Tant mieux si je me trompe... mais c'est en tout cas ce que je ressens de ta dernière intervention.

En même temps je comprends : tu souhaiterais m'inviter sur un terrain qui ne m'intéresse pas et qui pour moi est affaire de goût. Quant les gens me parlent de "mystère", ma réaction instinctive et quasi systématique est de rechercher en quoi ce n'est pas un mystère. Je n'y peux rien : je suis fabriqué comme ça et je pense donner le meilleur de ce que j'ai en faisant ça. Si ce "meilleur" de ce que je peux donner moi ne t'intéresse pas, il faut que tu demandes leur meilleur à d'autres que moi ...

Je te remercie à nouveau pour avoir éveillé mon intérêt.
Et je te souhaite de meilleurs échanges avec d'autres.
Pourquoi pas avec amethyste : vous semblez faits pour vous entendre.
J'ai déjà eu des échanges avec lui sur ce genre de sujets... et nous sommes arrivés aux mêmes limites de l'échange.
Ce qui ne nous empêche pas de nous apprécier .

Au plaisir d'autres discussions.

Posté par
fm_31
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 15:12

Bonjour LeDino

Citation :
Y répondre demanderait un investissement et une énergie qui à mon avis seraient un grand gaspillage.

C'est très proche de ce que j'ai ressenti  . Mais ma contribution s'est limitée à peu de choses car je n'avais pas de matière à apporter . Alors que toi  tu montres , en plus de ce que tu apportes sur le plan mathématique , un esprit d'ouverture et de dialogue qui force l'admiration . Je tenais à le dire tout simplement .

Cordialement

Posté par Profil amethystere : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 17:42

Citation :
FM31
Si on cherche un lien entre    et    , il y a des formules rigoureuses comme   = 2 cos(/5)


trop bien!! ...plus que mieux même!!

justement moi cette formule là je la kiffe

et pour le simple humain que je suis : je la kiffe à me rendre malade!

merci FM31

Posté par
fm_31
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 17:50

Cette formule ( = 2 cos(/5)) , ce n'est pas moi qui l'ai trouvée . Mais elle se démontre assez facilement .
Voir  

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 18:14

Citation :
justement moi cette formule là je la kiffe
Moi aussi.
Comme beaucoup d'autres formules qui établissent des passerelles inattendues (mais tout à fait explicables) entre des grandeurs a priori déconnectées parce que définies différemment.

Et j'ajoute que même avec une explication en bonne et due forme, je trouve normal de continuer à s'émerveiller ...

Posté par Profil amethystere : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 18:23

Citation :
Le Dino
Moi aussi.
Comme beaucoup d'autres formules qui établissent des passerelles inattendues (mais tout à fait explicables) entre des grandeurs a priori déconnectées parce que définies différemment.

Et j'ajoute que même avec une explication en bonne et due forme, je trouve normal de continuer à s'émerveiller


Salut Le Dino

oui tu peux l'ajouter oui! l'emerveillement et la raison vont souvent de pair

cette formule est plus belle que toutes les merveilles technologiques ou de l'univers

c'est une formule mathématique et ça ça vaut tout l'or du monde quitte à ce que tout disparaisse la Terre et tout l'Univers  : les maths (et cette formule spécialement ) sont largement au dessus de tout ça!

tiens à propos encore une autre merveille (mathématique) là sur ce lien : (le top du top du top presque aussi beau que la formule de FM31)

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 20:10

Bonjour LeDino,

Déjà, merci d'avoir pris le temps et d'avoir été ouvert jusqu'aux limites de tes limites et donc d'avoir eu la gentillesse d'échanger avec moi autour d'un sujet, il est vrai fort mal délimité.

LeDino

Tu sembles être aussi rigoureux dans ton éthique du débat que dans la formalisation mathématique de tes questionnements. Tu détournes, dénatures et confonds mes explications, au lieu de leur chercher le sens qui aurait pu apporter de la valeur et t'éclairer quant à ton questionnement initial. Dit autrement : tu es sur la défensive au lieu de chercher à construire avec moi.

J'ai pourtant bien entendu tes arguments et te suis en partie, mais il me semble à moi que tu n'entends pas toujours nécessairement ce que je te dis, du moins tu n'en fais pas toujours l'effort, pour ce que j'ai vu. Mais je le répète, j'en comprends les raisons.
- Je suis de formation philosophique alors si mes propos te paraîssent étrangers, c'est peut-être pour cette raison.

Pour ce qui est de la formalisation mathématique de mes questionnements, là je suis par contre entièrement d'accord avec toi, je n'ai fait des maths que jusqu'au Lycée et j'avoue ne pas poser les choses comme il faudrait.

Pour réagire à ce que tu dis, sache que je ne suis pas sur la défensive. Ce qu'il y a c'est juste que je ne prends pas pour des théorèmes, ce qui ne relève en l'état que d'avis personnels, même si ces avis sont de personnes très fiables, ce n'est pas la question.
- Quand un gars maîtrise un sujet, je l'écoute, me laisse aiguiller, mais je ne reconnais comme vérités que ce qui m'a été clairement démontré et que j'ai pu moi-même vérifier.

C'est ainsi que des vérités m'échappent, bien naturellement..

LeDino

Soit.
Tant pis.
Ce n'est pas grave : je crois que c'est le signe de ce qu''on est simplement aux limites de ce qu'on peut s'apporter mutuellement toi et moi.

C'est possible en effet.

LeDino

Pour ma part, je te remercie pour deux choses : ton questionnement de départ, que je trouve intéressant et auquel j'ai fait l'effort de réfléchir et de tenter de proposer un modèle de réflexion pour pouvoir dire des choses un peu construites. Je pense que la notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs est une approche qui a du potentiel... et que d'autres ont probablement exploré bien mieux que je ne l'ai fait très timidement.

Ta présentation était bonne et très claire.

LeDino

Je te remercie aussi pour ton invitation à découvrir les fractions continues, dont j'ignorais l'existence, et qui semblent être en lien avec l'écriture décimale (ou tout autre système d'écriture) des nombres réels.

Je crains beaucoup de ne pas avoir réussi à t'apporter autant que tu m'as apporté... et j'observe avec un peu de tristesse que mes interventions t'ont pris à rebrousse poil plutôt qu'intéressé sur leur fond. Tant mieux si je me trompe... mais c'est en tout cas ce que je ressens de ta dernière intervention.

Ne sois pas triste, je t'ai bien entendu et ai pris plaisir à te répondre, car nos différences valent d'être affirmées.
Je suis en revanche désolé que mon style ait pu te laisser supposer une animosité. Il n'y en a aucune de ma part, je défendais juste une ligne de pensée.

LeDino

En même temps je comprends : tu souhaiterais m'inviter sur un terrain qui ne m'intéresse pas et qui pour moi est affaire de goût. Quant les gens me parlent de "mystère", ma réaction instinctive et quasi systématique est de rechercher en quoi ce n'est pas un mystère. Je n'y peux rien : je suis fabriqué comme ça et je pense donner le meilleur de ce que j'ai en faisant ça. Si ce "meilleur" de ce que je peux donner moi ne t'intéresse pas, il faut que tu demandes leur meilleur à d'autres que moi ...

Tu as butté sur le mot. Ton attitude est la même que la mienne à cet égard, je cherche toujours à comprendre. Cela dit, je cherche parfois des problèmes où il n'y en a pas et pars ainsi parfois sur de fausses pistes... C'est sans doute cette façon qui te déplait et j'en comprends fort bien les raisons.

LeDino

Je te remercie à nouveau pour avoir éveillé mon intérêt.
Et je te souhaite de meilleurs échanges avec d'autres.
Pourquoi pas avec amethyste : vous semblez faits pour vous entendre.
J'ai déjà eu des échanges avec lui sur ce genre de sujets... et nous sommes arrivés aux mêmes limites de l'échange.
Ce qui ne nous empêche pas de nous apprécier .

Si j'ai pu te faire découvrir un truc intéressant, j'en suis tout-à-fait ravi, sois en certain.

Et pour ce qui est de nos échanges ici, sache que je les apprécie beaucoup.

LeDino

Au plaisir d'autres discussions.

Je pense bientôt demander des renseignements sur la mesure de l'irrationnalité d'un nombre, dans un autre sujet.

Au plaisir donc.

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 21:03

Relativement à la formule citée par fm_31:         \boxed{\phi = 2 \cos{\dfrac{\pi}{5}}}

Belle formule en effet, sans mystère et d'autant plus belle, oui, tout-à-fait!

LeDino

Citation :
justement moi cette formule là je la kiffe
Moi aussi.
Comme beaucoup d'autres formules qui établissent des passerelles inattendues (mais tout à fait explicables) entre des grandeurs a priori déconnectées parce que définies différemment.

Et j'ajoute que même avec une explication en bonne et due forme, je trouve normal de continuer à s'émerveiller ...

C'est ce qu'il manque à mon approx....

Elle ne permettrait pas a priori d'établir de réelles "passerelles" entre \phi^{2} et \sqrt{\pi} et  \sqrt{2}...

amethyste

oui tu peux l'ajouter oui! l'emerveillement et la raison vont souvent de pair.[/url]

L'émerveillement va souvent de pair avec la raison, la terreur aussi parfois.

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 21:19

@ LeDino,

Au fait, tu me parlais je te cite, de la notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs comme d'une approche qui aurait du potentiel...


\boxed{\boxed{\dfrac {\phi^2}{\sqrt{2}} \times\dfrac{45}{47}   \approx   \sqrt\pi}}


Soit: \sqrt\pi   \approx   \dfrac {45\phi^2}{47\sqrt{2}}   =   1,77245385...


-----------------> \dfrac {45\phi^2}{47\sqrt{2}} ------------------------------------------------> 9 caractères
----------------------------------- 1,77245385... ---------------------> 10 caractères.


------ \sqrt{\pi} ----------------------------------------------------------------> 2 caractères




(Il faudrait voir ce que ça donne en différentes bases.)

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 10-12-15 à 22:42

Oups! J'ai changé \varphi en \phi, désolé.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 11-12-15 à 19:48

Bonjour Zeropuiszero,

Je te remercie pour ton message apaisé et constructif.
Finalement, je pense à présent que nous nous sommes mutuellement bien mieux compris que je ne l'avais craint .

J'en profite pour reformuler différemment ce que j'ai voulu expliquer, mais cette fois-ci avec des termes plus "neutres" et prêtant moins à une interprétation "philosophique" qui pourrait nous faire digresser .

En fait, ce qui dans mon esprit détermine la réponse à ton questionnement, c'est ce que j'appellerais les "degrés de liberté" consommés. Lorsque je parle de paramètres, de coefficients, de choix, d'arbitraire, d'artificiel, de non fortuit, etc... tout cela conduit à une seule et même chose en pratique : offrir des degrés de liberté.

Quand on construit une formule d'approximation avec des degrés de liberté (DDL), on multiplie les résultats qu'on peut produire avec, et de ce fait, on obtient une plus grande "densité" de nombres produits avec la formule. Avec une plus grande densité, forcément on augmente les chances de s'approcher plus d'une valeur cible, quelle qu'elle soit, prise au hasard.

Si je choisis d'introduire dans ma formule un ratio A/B avec A et B tous deux entiers, j'introduis une certaine dose de degrés de libertés. On sent bien intuitivement que si A et B ont beaucoup de chiffres, alors il y a beaucoup de DDL et on doit s'attendre à une approximation plus fine.

D'où le lien avec les digits (ou chiffres, ou symboles, ou "caractères" comme tu l'as proposé et qui a bien le même sens que ce que je voulais suggérer).

La loi "empirique" que j'ai observée (en première approximation rapide) et selon laquelle pour produire N chiffres significatifs, il faut consommer une quantité à peu près équivalente de digits (dans le meilleur des cas), se comprend intuitivement (faute d'une démonstration que je serais incapable de produire) : on peut difficilement imaginer un système d'écriture qui consommerait moins d'information pour produire plus d'information... Si avec 4 digits j'étais capable par une transformation donnée de produire à coup sûr des nombres précis à 8 digits... j'aboutirais à une contradiction : comment produire 10 puissance 8 résultats distincts avec une information codée par 10 puissance 4 combinaisons possibles ?

Partant de là, si on "généralise" un peu la logique des digits pour quantifier de la même manière tous les degrés de liberté qui s'offrent à nous, on doit pouvoir cerner le "pouvoir d'approximation" d'une formule., un peu comme tu l'as fait en quantifiant les caractères de ta formule : ceux consommés et ceux produits...

A partir de là il faudrait être plus sioux et plus rigoureux : comment prendre en compte le fait de mettre ou pas une racine carré ici, ou une puissance 2 là ? Combien de chiffres pour mes fractions ? Combien de nombres "remarquables" ? C'était ici qu'intervenait ma notion "d'arbitraire"... si délicate à quantifier, et si relative puisqu'en lien avec le "projet" de l'intéressé et en lien également avec son référentiel culturel.

Les nombres remarquables pour celui-ci ne sont pas forcément les mêmes pour celui-là... Et des nombres remarquables il y en a un joli paquet... en voici quelques uns mentionnés sur Wikipédia :

Citation :
Constante de Champernowne
Constante de Meissel-Mertens
Constante de Bernstein
Constante de Gauss-Kuzmin-Wirsing
Constante de Hafner-Sarnak-McCurley
Constantes de Landau
Constante oméga
Constante d'Euler-Mascheroni
Constante de Golomb-Dickman
Constante de Cahen
Constante des premiers jumeaux
Constante de Robbins
Constante de Laplace    
Constante d'Embree-Trefethen
Constante de Landau-Ramanujan
Constante d'Alladi-Grinstead
Constante de Gauss
Constante de Brun pour les quadruplets premiers
Constante de Catalan
Constante de Legendre TN    
Constante de Lengyel
Constante de Viswanath
Constante de Khinchin-Lévy
Constante d'Apéry
Constante de Glaisher-Kinkelin
Constante de Conway
Constante de Mills
Nombre plastique
Constante de Pythagore
Racine carrée de deux
Constante de Ramanujan-Soldner
Constante de Backhouse    
Constante de Porter
Constante de Lieb
Constante d'Erdős-Borwein
Nombre d'or φ 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811
Constante de Niven
Constante de Théodore,
Constante de Brun pour les jumeaux premiers
2e constante de Feigenbaum
Constante de Sierpinski    
Constante de la Lemniscate
Constante de Khinchin
Constante de Neper, base des logarithmes naturels
Constante de Fransén-Robinson
Constante d'Archimède, pi, π 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288…
Nombre de Ludoph
Constante des inverses de Fibonacci ψ 3,35988 56662 43177 55317 20113
Constante de Feigenbaum δ ...

Et sans parler des constantes physiques : vitesse de la lumière, constante de Planck et autres constante de gravité... Soit une bonne soixantaine en se limitant aux constantes universelles... Mais bien plus encore si on introduit différents systèmes d'unités ou qu'on incorpore aussi des propriétés spécifiques comme la résistivité ou la chaleur latente de fusion de l'eau (ou de tout autre corps pur)...

Donc en résumé, tous ces degrés de liberté sont autant de grain à moudre pour les découvreurs de "passerelles"...
Avec son corollaire immédiat : comment discerner le bon grain de l'ivraie...

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 11-12-15 à 21:35

Bonsoir LeDino,

Je te remercie pour cette excellente intervention, très claires, très détaillée, qui m'a permis cette fois de saisir plus en profondeur la force de tes propos.

Le truc avec les approximations comme celle que j'ai présentée ici, c'est que surtout lorsqu'elles sont trouvées par hasard, c'était un peu le cas pour moi je l'avoue, sans un moyen fiable d'évaluer objectivement leur 'pertinence' en termes de digits consommés sur digits produits et en intégrant aussi comme tu le soulignes le paramamètre des DDL permis, il faut en effet aussi évaluer ce paramètre, il est difficile de se faire une idée du caractère possiblement intéressant d'une approximation en termes de réelles 'passerelles' possibles que l'on pourait y déceller.
- Mais je doute qu'une approximation qu'elle qu'elle soit, ne permette de relier mathématiquement par exemple, une constante à une autre, un nombre particulier à un autre qui de toute évidence ne sont pas liés en ces termes, une aprox restant une approx...

Peut-être faudrait-il aussi évaluer le 'coût en opérations' des différents opérateurs utilisés, car une racine carrée, je prends cet exemple, demande une quantité et une complexité de calculs plus grande qu'une simple addition ou encore une multiplication.

Relativemant enfin, à ce que tu disais au sujet de ta loi empirique, elle est généralement vraie. Mais il y a des cas qui l'outrepassent allègrement comme celui-ci, tu dois certainement le connaître:

\boxed{\pi \approx\dfrac{\ln{(640320^{3}+744)}}{\sqrt{163}} = 3.141592653589793238462643383279....} -------> 30 décimales exactes!!

0^0

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 11-12-15 à 22:14

\left(Note:

\left(e^{\pi\sqrt{163}}-744\right)^{\frac{1}{3}} = 640320 - 6,0968 × 10^{-25}

C'est lié au fait que 163 est un nombre d'Heegner et le plus grand notamment... Les nombres de Heegner sont: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163.\left)

0^0

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 12-12-15 à 01:41

Citation :
Le truc avec les approximations comme celle que j'ai présentée ici, c'est que surtout lorsqu'elles sont trouvées par hasard, c'était un peu le cas pour moi je l'avoue, sans un moyen fiable d'évaluer objectivement leur 'pertinence' en termes de digits consommés sur digits produits et en intégrant aussi comme tu le soulignes le paramètre des DDL permis, il faut en effet aussi évaluer ce paramètre, il est difficile de se faire une idée du caractère possiblement intéressant d'une approximation en termes de réelles 'passerelles' possibles que l'on pourrait y déceler.
Donc là définitivement : on est bien sur la même longueur d'onde.

Ton approximation est déjà de bonne valeur si on lui applique "rigoureusement" mon "critère" et qu'on la compare à d'autres approximations connues ou à des tentatives de constructions comme celles que j'ai tentées rapidement et avec des moyens raisonnables (j'ai simplement fait une boucle sur les coefficients injectés dans quelques formules simplistes, puis j'ai retenu la meilleure approximation à chaque fois parmi la profusion de résultats possibles). Elle devient "relativement" bien meilleure encore si on considère certains DDL comme "fixés" par la démarche de celui qui la trouve.

Si on applique mon critère à ta formule de façon très "stricte"... son "pouvoir d'approximation" serait de l'ordre de 8 digits pour 8 digits (ce qui est déjà très bon) :  

\pi  \simeq  \dfrac{\phi^4}{2} \left(\dfrac{45}{47}\right)^2 \simeq 3.1415927

Compter les DDL est facile au début : 2 chiffres de 0 à 9 pour chaque terme de la fraction. Donc 4.
Ensuite ça se complique : un carré sur la fraction, une puissance 4 sur Phi, un 2 au dénominateur...
Trois chiffres... mais quelles valeurs pouvaient-ils prendre ?
Une seule parce que la démarche suivait une sorte de "plan" basé sur des considérations géométrique ?
Ou plusieurs dans une vision plus ouverte...
Et pour le nombre remarquable, combien de possibilités ? Dix ? Cent ? Plus ?

En fait si dans ta démarche de recherche tu es arrivé à cette approximation sans jouer avec tous ces degrés de liberté, alors oui assurément tu as fait une bien drôle de rencontre. Avec le sentiment de n'avoir joué qu'avec 4 ou 5 digits de DDL... Et dans ce cas la rencontre est vraiment spectaculaire avec une approximation bien plus précise qu'on aurait dû s'y attendre.

Citation :
- Mais je doute qu'une approximation quelle qu'elle soit, ne permette de relier mathématiquement par exemple, une constante à une autre, un nombre particulier à un autre qui de toute évidence ne sont pas liés en ces termes, une approx restant une approx...
C'est sûr.
C'est pour ça que j'ai transposé ta question sous une forme qui revient en gros à se demander "quelles sont les chances d'avoir a priori une aussi bonne précision, avec ces degrés de liberté ?"...

Citation :
Peut-être faudrait-il aussi évaluer le 'coût en opérations' des différents opérateurs utilisés, car une racine carrée, je prends cet exemple, demande une quantité et une complexité de calculs plus grande qu'une simple addition ou encore une multiplication.
La complexité de l'opérateur me semble secondaire. Ce qui compterait c'est plutôt l'absence ou la présence de tel opérateur ou de tel autre... tout ce qui "démultiplierait" les combinaisons possibles en fait.

Citation :
Relativemant enfin, à ce que tu disais au sujet de ta loi empirique, elle est généralement vraie. Mais il y a des cas qui l'outrepassent allègrement comme celui-ci, tu dois certainement le connaître:
Ma loi empirique n'est pas supposée régir la qualité de toutes les approximations, mais plutôt leur qualité "moyenne". Chaque approximation est plus ou moins bonne, dans des proportions qui peuvent beaucoup varier.

Ma loi est plutôt supposée donner un ordre de grandeur de ce que serait "l'espérance" du nombre de digit significatifs, étant connu le nombre de digits consommés. La plupart des approximations sont à un ratio bien moins bon que celui de ta formule. C'est ce qui fait son caractère plutôt intéressant. Mais il peut naturellement exister des formules ayant une bien meilleure qualité d'approximation.

Celle que tu donnes (et que je ne connaissais pas) est franchement très saisissante !
Elle consomme en ordre de grandeur une quinzaine de digits. Soit moins de la moitié des chiffres significatifs !
Pour moi c'est un record...

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 00:05

Bonsoir,

LeDino

Donc là définitivement : on est bien sur la même longueur d'onde.

Je le pense aussi.

LeDino

Ton approximation est déjà de bonne valeur si on lui applique "rigoureusement" mon "critère" [...] Elle devient "relativement" bien meilleure encore si on considère certains DDL comme "fixés" par la démarche de celui qui la trouve.

Si on applique mon critère à ta formule de façon très "stricte"... son "pouvoir d'approximation" serait de l'ordre de 8 digits pour 8 digits (ce qui est déjà très bon) :  

    \pi  \simeq  \dfrac{\varphi^4}{2} \left(\dfrac{45}{47}\right)^2 \simeq 3.1415927

[...]

Compter les DDL est facile au début : 2 chiffres de 0 à 9 pour chaque terme de la fraction. Donc 4.
Ensuite ça se complique : un carré sur la fraction, une puissance 4 sur Phi, un 2 au dénominateur...
Trois chiffres... mais quelles valeurs pouvaient-ils prendre ?
Une seule parce que la démarche suivait une sorte de "plan" basé sur des considérations géométrique ?

Alors, je vais m'expliquer un peu plus sur mes 'choix' et préciser que ce n'est pas ici directement une approximation de \pi que je propose, qui serait déjà bonne comme tu le constates, mais en réalité une approximation de \sqrt{\pi} de forme plus simple encore.

Je te la remets pour que cela t'apparaisse clairement:

    \boxed{\boxed{  \dfrac {\varphi^2}{\sqrt{2}} \times\dfrac{45}{47}  \approx  \sqrt\pi  }}    ou encore plus siplement:    \boxed{\boxed{  \dfrac {45\varphi^2}{47\sqrt{2}}  \approx  \sqrt\pi  }}    =    1,77245385[9723....

Et pourquoi cela, pourquoi une approximation de \sqrt{\pi} et non de \pi ? Est-ce un artifice ? Certainement pas! Pourquoi ? Eh bien c'est parce qu'il y a une raison simple à cela, une raison de nature géométrique en effet.
Cette raison c'est que pour tracer un carré de même aire que celle d'un cercle de rayon donné, le plus simple est de passer par \sqrt{\pi}, tout simplement.
C'est de cette façon que je suis arrivé à ce résultat..

En effet, si l'on aborde le problème du cercle (ou disque) par son aire donc, comme je l'ai fait, c'est \sqrt{\pi} qui s'impose et non directement \pi.

LeDino

Ou plusieurs dans une vision plus ouverte...
Et pour le nombre remarquable, combien de possibilités ? Dix ? Cent ? Plus ?

En fait si dans ta démarche de recherche tu es arrivé à cette approximation sans jouer avec tous ces degrés de liberté, alors oui assurément tu as fait une bien drôle de rencontre. Avec le sentiment de n'avoir joué qu'avec 4 ou 5 digits de DDL... Et dans ce cas la rencontre est vraiment spectaculaire avec une approximation bien plus précise qu'on aurait dû s'y attendre.

En fait je n'ai essayé qu'avec \varphi, \varphi^{2}, \sqrt{2} et \sqrt{5}, toutes les combinaisons.

Alors pourquoi \varphi^{2} plutôt que \varphi} ? Eh bien simplement parce qu'il me semblait que c'était \varphi^{2} qui avait le meilleur potentiel en raison de l'autre approximation déjà connue dans l'ancienne Egypte dont on a parlé plus haut:

              \boxed{  \pi  \approx  \dfrac{6}{5}  \varphi^2  =  3.141[64...  }

(      Il y a aussi, - puisqu'on évoque le sujet -, le fait que dans la Grande Pyramide et principalement dans les dimensions de la chambre haute, je ne vais pas détailler ici, c'est \varphi^{2} qui apparaît massivement plutôt que \varphi. Cela ne doit pas être sans raison...      )

(      \sqrt{2} est semble-t-il aussi donnée dans les dimensions de l'édifice en rapports de nombres entiers de coudées..... On peut d'aillleurs y trouver :

              \sqrt{2}  \approx  \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{280\times2}{440\times9/10}+\dfrac{440\times9/10}{280}\right)    soit:    \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{140}{99}+\dfrac{99}{70}\right)  =  1.41421356[4...

et            \sqrt{2}  \approx  \dfrac{22\times\left(\sqrt{9^{2}+10^{2}}\rigth)+100}{280}  =  1,414213[31...      toute aussi intéressante.

   Rappels:  la Grande pyramide fait 280 coudées royales de hauteur et sa base est un carré de  440 coudées royales de coté, la pente des arrêtes est en conséquence de quasiment 9/10, les apothèmes en creux car la GP à des apothèmes légèrement 'rentrés' mesurent précisément 355 coudées royales (nombre intéressant..) et le périmètre de la base est approximativement égal (selon un rapport de 22/7 !) à la circonférence du cercle de rayon la hauteur de l'édifice... Forcément...     )

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

J'ai essayé aussi avec la constante e juste pour m'amuser, ce qui m'a permis d'en trouver plusieurs autres intéressantes, dont une vraiment pas mal avec \varphi^{2} encore. Est-ce une coïncidence de plus? Je ne sais pas...

Juge en par toi-même:

\boxed{  \sqrt{\pi}  \approx  \dfrac{45048}{47153}  .  e  ^{\varphi - 1}  =  1.77245385090[359...  }  -------> observe les deux premiers chiffres des
                                                                                                                      nombres en numérateur et dénominateur...

\boxed{  \pi  \approx  \dfrac{11}{48}  .  e  ^{\varphi^{2}}  =  3.1415[875...  }  ------->  Pas mal mais comparativement moins bonne que celle plus

connue trouvée sur le net:  \boxed{  \pi  \approx  \dfrac{5}{7}  .  e  .  \varphi  =  3.141[623...  }

et enfin:

\boxed{  \pi  \approx  \dfrac{\varphi    .    e}{\sqrt{2}-71/5000}  =  3.141592[701...  }  ------->      \sqrt{2}-71/5000  \approx  \dfrac{7}{5}      mais donne mieux.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

LeDino

Citation :
- Mais je doute qu'une approximation quelle qu'elle soit, ne permette de relier mathématiquement par exemple, une constante à une autre, un nombre particulier à un autre qui de toute évidence ne sont pas liés en ces termes, une approx restant une approx...
C'est sûr.
C'est pour ça que j'ai transposé ta question sous une forme qui revient en gros à se demander "quelles sont les chances d'avoir a priori une aussi bonne précision, avec ces degrés de liberté ?"...

Ce serait bien de l'évaluer objectivement.

Je suis sûr que si l'on définissait très précisément ce que l'on entend par 'la pertinence' d'une approximation, je propose ce terme, il serait possible de la calculer de manière exacte quelque soit l'approximation.

LeDino

La complexité de l'opérateur me semble secondaire. Ce qui compterait c'est plutôt l'absence ou la présence de tel opérateur ou de tel autre... tout ce qui "démultiplierait" les combinaisons possibles en fait.

Oui, c'est pourquoi par exemple cet opérateur " - " dans le dénominateur d'une de mes autres approximations données plus haut faisant intervenir e, me gène un peu...

LeDino

Citation :
Relativemant enfin, à ce que tu disais au sujet de ta loi empirique, elle est généralement vraie. Mais il y a des cas qui l'outrepassent allègrement comme celui-ci, tu dois certainement le connaître:
Ma loi empirique n'est pas supposée régir la qualité de toutes les approximations, mais plutôt leur qualité "moyenne". Chaque approximation est plus ou moins bonne, dans des proportions qui peuvent beaucoup varier.

Ma loi est plutôt supposée donner un ordre de grandeur de ce que serait "l'espérance" du nombre de digit significatifs, étant connu le nombre de digits consommés. La plupart des approximations sont à un ratio bien moins bon que celui de ta formule. C'est ce qui fait son caractère plutôt intéressant.

J'avais bien compris.. Nous tenons là un critère je pense.

LeDino

Mais il peut naturellement exister des formules ayant une bien meilleure qualité d'approximation.

Celle que tu donnes (et que je ne connaissais pas) est franchement très saisissante !
Elle consomme en ordre de grandeur une quinzaine de digits. Soit moins de la moitié des chiffres significatifs !
Pour moi c'est un record...

Ouaip! Il y a du ramanujan là dessous...


Tiens ! Bonus :

        \boxed{ \pi  \approx  \dfrac{69}{163}+ e  =  3,14159[4712... }  ------->  encore ce nombre 163  !!


@ bientôt, bon dimanche à toi.


0^0

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 15:34

Bonjour,

Toujours en rapport avec l'Egypte ancienne:

              \boxed{  \dfrac{187.e}{100.\varphi}   =  3.1415[823...  }    soit:    \boxed{  187.e  \approx  100.\varphi.\pi  }    soit encore:    \boxed{  \dfrac{187}{100}  \approx  \dfrac{\varphi.\pi}{e}  }

Sachant qu'un doigt était égal à  0,187 poing, qu'il y avait  28 doigts dans une coudée royale et que  6 coudées royales

faisaient précisément  10 \times 3,1416 poings...

                     \boxed{1  coudee  royale  =  28  doigts}

                     \boxed{1  doigt  =  0,187  poing}                                                  \dfrac{\pi}{6\times28}  \approx  0,18699956...

                     \boxed{1  coudee  royale  =  3,1416 \times \dfrac{10}{6}  poings}


Petit rajout aussi sur l'approx de  \sqrt{2}  donnée dans la Grande Pyramide, sachant que la pente des arrêtes

= \dfrac{280}{220\sqrt{2}} = 0,899954... \approx \dfrac{9}{10}  et que celle des apothèmes sans tenir compte du 'creux' des faces  = \dfrac{280}{220} =14/11,

\sqrt{2}  peut aussi s'y trouver comme suit:

                  \sqrt{2}  \approx  \dfrac{9}{10}\times\dfrac{1}{\left(\dfrac{14}{11}\right)}+\dfrac{\left(\dfrac{14}{11}\right)}{2}}\times\dfrac{1}{\left(\dfrac{9}{10}\right)}  =  1,41421356[42....


0^0
                                

Posté par
verdurin
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 16:39

Bonsoir.
Là on sombre dans le délire.
Qui commence par « sachant que ».

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 17:29

Bonjour zeropuiszero,

Merci pour ces exemples.
J'observe que la plupart respectent plus ou moins la loi empirique que j'ai donnée.
Il n'y a que Ramanujan qui fasse (spectaculairement) mieux !

Pour ce qui est des "mystères" des mesures égyptiennes... revues et corrigées a posteriori... je ne suis pas trop client. Il y a beaucoup de gens qui écrivent n'importe quoi sur le sujet. Ensuite c'est repris et repris... et ça prend valeur de vérité. Je n'aime pas trop, je ne te le cache pas.

Très bon dimanche à toi aussi.

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 18:38

\dfrac{22}{7}  \simeq  3.14            3 pour 3

\dfrac{355}{113}  \simeq  3.141593            6 pour 7

\dfrac{312689}{99532}  \simeq  3.1415926536            11 pour 11

\dfrac{5419351}{1725033}  \simeq  3.1415926535898            14 pour 14


\left(\dfrac{821}{653}\right)^5  \simeq  3.1415927            7 pour 8

\left(\dfrac{9629}{8873}\right)^{14}  \simeq  3.141592654            10 pour 10


\dfrac{6}{5} \varphi^2  \simeq  3.1416            4 pour 5

\dfrac{\varphi^4}{2} \left(\dfrac{45}{47}\right)^2  \simeq  3.1415927            7 ou 8 pour 8

\dfrac{69}{163}+ e  \simeq  3,14159            6 pour 6

\dfrac{11}{48} e^{\varphi^2}  \simeq  3.1415            8 pour 5 :  pas terrible

\left(\dfrac{45048}{47153}\right)^2 e^{2^\varphi}  \simeq  3.14159265358            14 pour 12

\dfrac{5}{7} e \varphi  \simeq  3.141            4 pour 4

\dfrac{\varphi e}{\sqrt{2}-71/5000}  \simeq  3.1415927            9 pour 8

\dfrac{\ln{(640320^{3}+744)}}{\sqrt{163}}  \simeq  3.141592653589793238462643383279            15 pour 30 :  énorme !!!

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 21:02

verdurin

Bonsoir.
Là on sombre dans le délire.
Qui commence par « sachant que ».

On sombrerait dans le Délire? Sais-tu de quoi tu parles? T'es-tu bien renseigné?
Je me suis réfèré comme je l'ai dit: à la valeur de la coudée royale telle que déduite à partir des mesures très précises effectuées dans la chambre haute de la Grande Pyramide par des grands noms de l'Egyptologie comme Pétrie.
C'était la coudée utilisée dans l'ancienne Egypte, avant la réforme de la XXVIe dynastie, au temps de l'edification des grandes pyramides.
=> Elle mesurait très précisément 0,5236 mètre à + 0,1 mm, la plupart des experts s'entendent sur cette valeur.

Or, une coudée royale faisant 28 doigts, ça aussi c'est admis (voir les liens (1), (2), (3) et (4)), et 1000 doigts mesurant précisément 187 poings (voir les lien (1) et (2)), c'était même la définition du poing, 6 coudées faisaient donc précisément 31,416 poings, soit 168 doigts:


                       \dfrac{187  poings}{1000}  \times  168  doigts  =  31,416  poings


(1)  

Le systeme digital:

Le doigt = 1.87 cm - La palme (4 Doigts) = 7.48 cm - La main (5 Doigts) = 9.35 cm - La double palme (8 doigts) = 14.96 cm - Le petit empan (12 doigts) = 22.44 cm - Le grand empan (14 doigts) = 26.18 cm - La coudée sacrée (16 doigts) = 29.92 cm - La coudée rehen (20 doigts) = 37.40 cm - La petite coudée (24 doigts) = 44.88 cm - La grande coudée ou coudée royale (28 doigts) = 52.36 cm - La sandale (1/5è de coudée royale) = 10.47 cm

Le systeme oncial:

Le poing = 10 cm - La coudée sacrée (3poings) = 30 cm - Le pouce (1/2coudée) = 25 cm - La canne (7 poings) = 70 cm - La brasse (18 poings) = 1.80m


(2)      voir en bas de page du lien.

(3)
        Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense.

(4)   Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense.

>>>>>>>>>>>>>>> Donc il est où le délire?


LeDino

Bonjour zeropuiszero,

Merci pour ces exemples.
J'observe que la plupart respectent plus ou moins la loi empirique que j'ai donnée.
Il n'y a que Ramanujan qui fasse (spectaculairement) mieux !

Alors quoi?
On prend tout le reste et on l'oublie?

LeDino

Pour ce qui est des "mystères" des mesures égyptiennes... revues et corrigées a posteriori... je ne suis pas trop client.

Qui parle de mystère? Il y avait des raisons pratiques à ces choix d'étalonnage..

Je ne sais pas de quoi tu parles quand tu dis "revues et corrigéés"... Les références sérieuses existent et elles s'accordent sur les valeurs données plus haut.

LeDino

Il y a beaucoup de gens qui écrivent n'importe quoi sur le sujet. Ensuite c'est repris et repris... et ça prend valeur de vérité. Je n'aime pas trop, je ne te le cache pas.

Certes il faut faire un tri.. Mais ce n'est pas parce qu'il y a des cailloux dans les petits poids qu'il faut tout jetter au orties..

C'est un effort pour trouver des informations fiables, c'est vrai, cela dit ça vaut parfois le coup.

Bonne semaine à vous,  @+

0^0

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 21:56

Citation :
Alors quoi ?
On prend tout le reste et on l'oublie ?
De quel reste veux-tu parler ?
J'ai lu ce que tu as écrit : j'ai porté mon attention sur ce que je comprend et ce qui m'intéresse.
J'ai réagi sur les points où je pouvais apporter de la valeur ajoutée.

Si par "le reste" tu entends les recoupements faits sur mesures égyptiennes, pour te parler franchement je ne vois pas trop où ça mène. Je n'y ai pas réagi parce que ça ne m'intéresse pas beaucoup et que je n'ai rien de concret à dire sur le sujet.

Citation :
Je ne sais pas de quoi tu parles quand tu dis "revues et corrigées"...
Les références sérieuses existent et elles s'accordent sur les valeurs données plus haut
Il y a tellement de sources qu'il ne doit pas être bien facile de choisir.
Mais je n'y connais pas grand choses... Raison pour laquelle je me suis abstenu de réagir.

Et si je cherche à lire quelque chose sur la civilisation egyptienne, j'aurai tendance à lire ce qui a été rédigé par quelqu'un qui n'était pas à la recherche de recoupements. Quelqu'un qui soit "libre" dans sa pensée et non mu par l'envie de produire un rapport de mesures étonnant.

Il ne faut pas m'en vouloir, c'est ma formation scientifique qui m'a donné ces réflexes .

Posté par
verdurin
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 13-12-15 à 22:41

Citation :
C'était la coudée utilisée dans l'ancienne Egypte, avant la réforme de la XXVIe dynastie, au temps de l'edification des grandes pyramides.
=> Elle mesurait très précisément 0,5236 mètre à + 0,1 mm, la plupart des experts s'entendent sur cette valeur.

Je ne vais pas t'accuser de mentir, mais des références autres que « la plus part des experts » seraient bien venues.
Et celles que tu donnes ne font pas mention d'une telle précision.
D'autre part, ayant déjà fait des mesures à  0,1 mm près, je m'interroge : je n'ai jamais entendu parler de quelque chose genre pied à coulisse en Égypte ancienne.
As-tu des références sur ce genre d'objets ?
Ou penses-tu qu'il soit possible de mesurer quelque chose à 0,1mm près à l'œil nu ?

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 14-12-15 à 00:57

LeDino

Citation :
Alors quoi ?
On prend tout le reste et on l'oublie ?
De quel reste veux-tu parler ?

Je parlais principalement de cette histoire de trouver une valeur objective à la pertinence d'une approximation...
En parlant de ça, j'ai vu qu'entre temps tu as posté quelque chose en rapport, ça me plait bien. Je suis en train de voir comment l'exploiter voire l'améliorer qui sait.. Je te répondrai demain.

LeDino

J'ai lu ce que tu as écrit : j'ai porté mon attention sur ce que je comprend et ce qui m'intéresse.
J'ai réagi sur les points où je pouvais apporter de la valeur ajoutée.

Et c'est très bien ainsi, d'ailleurs cela m'est utile et me fait réfléchir.

LeDino

Si par "le reste" tu entends les recoupements faits sur mesures égyptiennes, pour te parler franchement je ne vois pas trop où ça mène. Je n'y ai pas réagi parce que ça ne m'intéresse pas beaucoup et que je n'ai rien de concret à dire sur le sujet.

Ah ça! C'est juste un petit amusement... Mais cela pourrait mener à mieux comprendre comment ils faisaient des maths, car ils en faisaient. En effet, on ne construit pas une pyramide comme la Grande Pyramide, simplement au pif sans faire des plans. Ils avaients leurs 'ingénieurs architectes' qui en faisaient, ainsi que les calculs qui allaient avec, c'est certain.

LeDino

Citation :
Je ne sais pas de quoi tu parles quand tu dis "revues et corrigées"...
Les références sérieuses existent et elles s'accordent sur les valeurs données plus haut
Il y a tellement de sources qu'il ne doit pas être bien facile de choisir.
Mais je n'y connais pas grand choses... Raison pour laquelle je me suis abstenu de réagir.

Et si je cherche à lire quelque chose sur la civilisation egyptienne, j'aurai tendance à lire ce qui a été rédigé par quelqu'un qui n'était pas à la recherche de recoupements. Quelqu'un qui soit "libre" dans sa pensée et non mu par l'envie de produire un rapport de mesures étonnant.

Oui c'est une attitude saine, mais c'est aussi ce que je fais, toujours partir des faits et revenir aux faits. Car c'est vrai, l'on trouve toute sorte de spéculations plus ou moins loufoques autour des pyramides...

Quant aux valeurs et étalonnages cités plus haut, c'est du sûr.

LeDino

Il ne faut pas m'en vouloir, c'est ma formation scientifique qui m'a donné ces réflexes .

C'est de bons réflexes, mais ils faut connaître les faits aussi.

0^0

Posté par
Zeropuiszero
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 14-12-15 à 01:39

verdurin

[...] D'autre part, ayant déjà fait des mesures à  0,1 mm près, je m'interroge : je n'ai jamais entendu parler de quelque chose genre pied à coulisse en Égypte ancienne.
As-tu des références sur ce genre d'objets ?
Ou penses-tu qu'il soit possible de mesurer quelque chose à 0,1mm près à l'œil nu ?

Tu n'as pas saisi, je vais donc t'expliquer:

Les principales dimensions des édifices considérés: couloirs, chambres, hauteurs, largeurs, longueurs, côtés, apothèmes en creux (...) étaient choisies en nombres entiers de coudées, ça on le sait.

Or, parmi les nombreux exemples exploitables vu la précision de la réalisation, il y notamment la chambre haute de la Grande Pyramide. Ses dimensions sont: 10 coudées royales de largeur, 20 coudées royales de longueurs, diagonale du mur étroit: 15 coudées royales, diagonale traversant la chambre d'un coin au sol à celui opposé au plafond: 25 coudées royales.

Donc, même si les blocs ont été assemblés à 5 mm près par rapport aux plans, ce qui est de l'ordre de la précision constatée qui était même légèrement meilleure semble-t-il, car entre temps l'édifice a quelque peu bougé, cela donne en faisant suffisament de  mesures, une moyenne très précise, d'autant plus que l'imprécision est divisée par le nombre de coudées mesurées.

En effet, 5 mm / (20 \times 0,5236) = + 0,5 mm de marge d'erreur pour une coudée, même moins, vu la valeur moyenne des mesures retenues.

On arrive à 1 coudée royale de l'Ancien Empire = 0,5236 mètre à + 1 mm.

@+,

0^0

Posté par
LeDino
re : Une intéressante approx. de racine de pi, inédite je pense. 14-12-15 à 02:27

Les deux dernièrex du week end pour le plaisir ...

 \dfrac {21\, 053\, 343\, 141}{6\, 701\, 487\, 259}  \simeq  3.141592653\, 5897932384\, 62               21  pour  22  (pas mal...)

 \dfrac {30\, 246\, 273\, 033\, 735\, 921}{9\, 627\, 687\, 726\, 852\, 338}  \simeq  3.141592653\, 5897932384\, 6264338327\, 950               33  pour  33  (pas mal non plus...)

1 2 +


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