Bonjour,
Voilà un peu plus d'un an que je l'ai découverte sur papier..
Vous m'en direz ce vous en penser, la voici:
-------------------------------> 8 décimales exactes!
Ce qui nous donne aussi:
-------------------------------> 7 décimales exactes!
Géométriquement, cela revient à tracer pour un cercle de rayon 47, un carré de diagonale 45 φ² qui aura une aire approximativement égale.
N'est-ce pas Intéressant? Je n'ai pas connaissance de travaux mentionnant cette trouvaille. Vous si?
Si oui, je vous remercie d'avance de bien vouloir me les faire connaître. Merci d'avance.
Bien cordialement.
Bonjour ,
7 à 8 décimales , c'est pas mal du tout . Cela tient au ratio 45/47 qui lui ne s'explique pas trop et parait tout à fait arbitraire . Mais encore fallait-il le trouver .
Cordialement
Bonjour,
C'est le problème avec les approximations en général. Il n'est en effet pas toujours facile de voir si elles présentent un réel intérêt mathématique.
Une question intéressante serait de savoir s'il est si facile que ça de trouver des approximations aussi simples et bonnes. Il faudrait voir si des programmes spécialement conçus pour en trouver, en trouve une multitude de similaire ou au contraire relativement peu.
Bien cordialement.
Escamoter des puissances arbitraires en introduisant des racines non moins arbitraires, c'est un joli tour de passe-passe...
... Mais ça change rien au final, si on comptabilise les tours de passe-passe comme des opportunités démultipliant les chances de tomber sur un résultat remarquable .
Ta formule est sympa.
Elle te plait manifestement.
Que veux-tu de plus ?
Exemple trouvé à la va vite sur tableur :
Avec une précision comparable à la tienne...
Juste pour dire que quand on cherche... on trouve .
Empiriquement on retrouve une précision en chiffres significatifs du même ordre que le nombre de chiffres utilisés dans la formule...
@zeropuiszero :
Une approximation que tu devrais apprécier :
Relation entre et le "remarquable" utilisant seulement deux chiffres de "paramétrage" et produisant une approximation à 5 chiffres significatifs. Si on considère le choix de comme "valant" 1 à 2 digits (choix parmi 10 à 100 nombres remarquables...), alors la relation a un très bon ratio "digits significatifs/digits requis", qui la rend assez particulière..
C'est une trouvaille rapportée par améthyste, un habitué du forum, fervent amateur de coïncidences inspirées par la Grande Pyramide (qui a fait couler beaucoup d'encre).
Si on teste la relation :
... en "fixant" arbitrairement a=4, b=2, e=2 ... donc
... la meilleure approximation est de très loin celle de zeropuiszero, avec 8 chiffres significatifs :
La deuxième meilleure solution tombe à seulement 4 chiffres significatifs.
Donc la coïncidence est élevée.
En fixant a=b=1, en gardant d=2, les meilleurs c et d à 3 chiffres donnent 7 significatifs, ce qui est pas mal (mais un peu moins sexy que la précédente).
En parlant d'Améthyste, j'ai relu plus haut et je viens de m'appercevoir que quelques erreurs se sont glissées dans mes lignes. Veuillez m'en excuser.
Voici la correction:
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
C'est en effet une relation connue depuis l'ancienne Egypte:
Un cerle de 10 poings de diamètre (1 poing = 10,000 cm) a une circonférence de 1 coudée royale (5,236 poings) + coudées royales (26,180 poings) soit (31,416 poings).
5 coudées royales de l'A.E. poings
6 coudées royales de l'A.E. poings
1 coudées royales de l'A.E. poings
d'où la relation:
etc.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bonsoir LeDino,
Bonjour,
Je découvre les fractions continues, que je ne connaissais pas.
Manifestement, ton 5ème terme à 95041 est très élevé.
Et cela correspond effectivement à un saut qualitatif de la meilleure fraction approchée qui en découle juste au stade précédent ce 5ème terme.
Autrement dit : 45/47 est de fait une excellente approximation du réel racine(2.Pi)/phi²
Néanmoins, je te redis ce que j'ai déjà observé plus haut : si pour une raison objective qui t'appartient, tu estimes que la formule d'approximation que tu cherches doit avoir précisément cette forme, alors la coïncidence est plus frappante.
Si en revanche, tu te laisses un choix tout à fait libre sur la forme de la formule, alors tu introduis des degrés de liberté qui multiplient les possibilités. Et parmi toutes les possibilités engendrées par la combinatoire de ces degrés de libertés, il y en aura forcément certaines qui seront meilleures que les autres.
Les degrés de liberté augmentent les chances de produire une bonne approximation, ce qui revient à dire qu'on augmente les chances d'avoir une composante de fraction continue qui augmente fortement au rang suivant l'approximation retenue comme bonne.
Le fait de choisir le coefficient 2 en facteur de Pi, puis de prendre la puissance 1/2, puis de diviser par phi, élevé lui même à la puissance 2...
... ce sont des choix arbitraires, donc correspondant à des degrés de liberté... qui amoindrissent la force de la coïncidence.
Ou si tu préfères en le disant à l'envers : ton terme 95041 est artificiellement "dopé" par les choix "judicieux" faits sur ces degrés de liberté.
On tourne toujours autour de la même conclusion : ton approximation est très bonne.
Mais elle n'est pas "incroyablement bonne".
C'est une trouvaille, et il ne doit pas être immédiat d'en trouver d'autres de même qualité. Mais elle reste plausible et en tout cas à mon sens, nullement mystérieuse.
Bonsoir,
Salut
...juste un aparté car je suis même pas ici -je suis en téléportation télépathique uniquement-en fait j'ai pas trop le temps en ce moment de penser à tout ça-
Salut LeDino,
Salut Améthyste,
Bonjour zéropuiszéro,
Je ne répondrai pas point par point à ton avant dernière intervention, celle qui m'est adressée. Elle part dans dix directions, qui sont pour la plupart des fausses pistes de faux débats.
Y répondre demanderait un investissement et une énergie qui à mon avis seraient un grand gaspillage.
Tu sembles être aussi rigoureux dans ton éthique du débat que dans la formalisation mathématique de tes questionnements. Tu détournes, dénatures et confonds mes explications, au lieu de leur chercher le sens qui aurait pu apporter de la valeur et t'éclairer quant à ton questionnement initial. Dit autrement : tu es sur la défensive au lieu de chercher à construire avec moi.
Soit.
Tant pis.
Ce n'est pas grave : je crois que c'est le signe de ce qu''on est simplement aux limites de ce qu'on peut s'apporter mutuellement toi et moi.
Pour ma part, je te remercie pour deux choses : ton questionnement de départ, que je trouve intéressant et auquel j'ai fait l'effort de réfléchir et de tenter de proposer un modèle de réflexion pour pouvoir dire des choses un peu construites. Je pense que la notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs est une approche qui a du potentiel... et que d'autres ont probablement exploré bien mieux que je ne l'ai fait très timidement.
Je te remercie aussi pour ton invitation à découvrir les fractions continues, dont j'ignorais l'existence, et qui semblent être en lien avec l'écriture décimale (ou tout autre système d'écriture) des nombres réels.
Je crains beaucoup de ne pas avoir réussi à t'apporter autant que tu m'as apporté... et j'observe avec un peu de tristesse que mes interventions t'ont pris à rebrousse poil plutôt qu'intéressé sur leur fond. Tant mieux si je me trompe... mais c'est en tout cas ce que je ressens de ta dernière intervention.
En même temps je comprends : tu souhaiterais m'inviter sur un terrain qui ne m'intéresse pas et qui pour moi est affaire de goût. Quant les gens me parlent de "mystère", ma réaction instinctive et quasi systématique est de rechercher en quoi ce n'est pas un mystère. Je n'y peux rien : je suis fabriqué comme ça et je pense donner le meilleur de ce que j'ai en faisant ça. Si ce "meilleur" de ce que je peux donner moi ne t'intéresse pas, il faut que tu demandes leur meilleur à d'autres que moi ...
Je te remercie à nouveau pour avoir éveillé mon intérêt.
Et je te souhaite de meilleurs échanges avec d'autres.
Pourquoi pas avec amethyste : vous semblez faits pour vous entendre.
J'ai déjà eu des échanges avec lui sur ce genre de sujets... et nous sommes arrivés aux mêmes limites de l'échange.
Ce qui ne nous empêche pas de nous apprécier .
Au plaisir d'autres discussions.
Bonjour LeDino
Bonjour LeDino,
Déjà, merci d'avoir pris le temps et d'avoir été ouvert jusqu'aux limites de tes limites et donc d'avoir eu la gentillesse d'échanger avec moi autour d'un sujet, il est vrai fort mal délimité.
Relativement à la formule citée par fm_31:
Belle formule en effet, sans mystère et d'autant plus belle, oui, tout-à-fait!
@ LeDino,
Au fait, tu me parlais je te cite, de la notion de rapport entre les digits consommés pour obtenir des digits significatifs comme d'une approche qui aurait du potentiel...
Soit:
-----------------> ------------------------------------------------> 9 caractères
----------------------------------- ---------------------> 10 caractères.
------ ----------------------------------------------------------------> 2 caractères
(Il faudrait voir ce que ça donne en différentes bases.)
Bonjour Zeropuiszero,
Je te remercie pour ton message apaisé et constructif.
Finalement, je pense à présent que nous nous sommes mutuellement bien mieux compris que je ne l'avais craint .
J'en profite pour reformuler différemment ce que j'ai voulu expliquer, mais cette fois-ci avec des termes plus "neutres" et prêtant moins à une interprétation "philosophique" qui pourrait nous faire digresser .
En fait, ce qui dans mon esprit détermine la réponse à ton questionnement, c'est ce que j'appellerais les "degrés de liberté" consommés. Lorsque je parle de paramètres, de coefficients, de choix, d'arbitraire, d'artificiel, de non fortuit, etc... tout cela conduit à une seule et même chose en pratique : offrir des degrés de liberté.
Quand on construit une formule d'approximation avec des degrés de liberté (DDL), on multiplie les résultats qu'on peut produire avec, et de ce fait, on obtient une plus grande "densité" de nombres produits avec la formule. Avec une plus grande densité, forcément on augmente les chances de s'approcher plus d'une valeur cible, quelle qu'elle soit, prise au hasard.
Si je choisis d'introduire dans ma formule un ratio A/B avec A et B tous deux entiers, j'introduis une certaine dose de degrés de libertés. On sent bien intuitivement que si A et B ont beaucoup de chiffres, alors il y a beaucoup de DDL et on doit s'attendre à une approximation plus fine.
D'où le lien avec les digits (ou chiffres, ou symboles, ou "caractères" comme tu l'as proposé et qui a bien le même sens que ce que je voulais suggérer).
La loi "empirique" que j'ai observée (en première approximation rapide) et selon laquelle pour produire N chiffres significatifs, il faut consommer une quantité à peu près équivalente de digits (dans le meilleur des cas), se comprend intuitivement (faute d'une démonstration que je serais incapable de produire) : on peut difficilement imaginer un système d'écriture qui consommerait moins d'information pour produire plus d'information... Si avec 4 digits j'étais capable par une transformation donnée de produire à coup sûr des nombres précis à 8 digits... j'aboutirais à une contradiction : comment produire 10 puissance 8 résultats distincts avec une information codée par 10 puissance 4 combinaisons possibles ?
Partant de là, si on "généralise" un peu la logique des digits pour quantifier de la même manière tous les degrés de liberté qui s'offrent à nous, on doit pouvoir cerner le "pouvoir d'approximation" d'une formule., un peu comme tu l'as fait en quantifiant les caractères de ta formule : ceux consommés et ceux produits...
A partir de là il faudrait être plus sioux et plus rigoureux : comment prendre en compte le fait de mettre ou pas une racine carré ici, ou une puissance 2 là ? Combien de chiffres pour mes fractions ? Combien de nombres "remarquables" ? C'était ici qu'intervenait ma notion "d'arbitraire"... si délicate à quantifier, et si relative puisqu'en lien avec le "projet" de l'intéressé et en lien également avec son référentiel culturel.
Les nombres remarquables pour celui-ci ne sont pas forcément les mêmes pour celui-là... Et des nombres remarquables il y en a un joli paquet... en voici quelques uns mentionnés sur Wikipédia :
Bonsoir LeDino,
Je te remercie pour cette excellente intervention, très claires, très détaillée, qui m'a permis cette fois de saisir plus en profondeur la force de tes propos.
Le truc avec les approximations comme celle que j'ai présentée ici, c'est que surtout lorsqu'elles sont trouvées par hasard, c'était un peu le cas pour moi je l'avoue, sans un moyen fiable d'évaluer objectivement leur 'pertinence' en termes de digits consommés sur digits produits et en intégrant aussi comme tu le soulignes le paramamètre des DDL permis, il faut en effet aussi évaluer ce paramètre, il est difficile de se faire une idée du caractère possiblement intéressant d'une approximation en termes de réelles 'passerelles' possibles que l'on pourait y déceller.
- Mais je doute qu'une approximation qu'elle qu'elle soit, ne permette de relier mathématiquement par exemple, une constante à une autre, un nombre particulier à un autre qui de toute évidence ne sont pas liés en ces termes, une aprox restant une approx...
Peut-être faudrait-il aussi évaluer le 'coût en opérations' des différents opérateurs utilisés, car une racine carrée, je prends cet exemple, demande une quantité et une complexité de calculs plus grande qu'une simple addition ou encore une multiplication.
Relativemant enfin, à ce que tu disais au sujet de ta loi empirique, elle est généralement vraie. Mais il y a des cas qui l'outrepassent allègrement comme celui-ci, tu dois certainement le connaître:
-------> 30 décimales exactes!!
0^0
Note:
C'est lié au fait que 163 est un nombre d'Heegner et le plus grand notamment... Les nombres de Heegner sont: 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163.
0^0
Bonsoir,
Bonjour,
Toujours en rapport avec l'Egypte ancienne:
soit: soit encore:
Sachant qu'un doigt était égal à poing, qu'il y avait doigts dans une coudée royale et que coudées royales
faisaient précisément poings...
Petit rajout aussi sur l'approx de donnée dans la Grande Pyramide, sachant que la pente des arrêtes
et que celle des apothèmes sans tenir compte du 'creux' des faces ,
peut aussi s'y trouver comme suit:
0^0
Bonjour zeropuiszero,
Merci pour ces exemples.
J'observe que la plupart respectent plus ou moins la loi empirique que j'ai donnée.
Il n'y a que Ramanujan qui fasse (spectaculairement) mieux !
Pour ce qui est des "mystères" des mesures égyptiennes... revues et corrigées a posteriori... je ne suis pas trop client. Il y a beaucoup de gens qui écrivent n'importe quoi sur le sujet. Ensuite c'est repris et repris... et ça prend valeur de vérité. Je n'aime pas trop, je ne te le cache pas.
Très bon dimanche à toi aussi.
3 pour 3
6 pour 7
11 pour 11
14 pour 14
7 pour 8
10 pour 10
4 pour 5
7 ou 8 pour 8
6 pour 6
8 pour 5 : pas terrible
14 pour 12
4 pour 4
9 pour 8
15 pour 30 : énorme !!!
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