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Une interpolation d'Hermite.
Bonjour,
Je bloque sur des éléments de réponses sur ce sujet.
On se place dans le 
-ev 3[X], et on fixe deux réels a et b distincts.
Soit f l'application de 3[X] dans 4 définie par
P
3[X], f(P)=(P(a),P'(a), P(b), P'(b)).
Notons E= 3[X] , par soucis de clarté.
1. Monter que f est linéaire.
Avec une simple vérification, on arrive facilement à démonter qu'elle est linéaire.
2. Monter que f est injective.
Voilà où je bloque, il me suffit de monter que ker(f)={0E}.
J'ai posé P=
0+1X+2X2+3X3.
Puis j'ai essayer de résoudre le système Pker(f) donc f(P)=(0,0,0,0).
Dans le système, est-ce que je peux utiliser directement, "par identification des coefficiants" puis on détermine que les i valent 0 ?
Bonjour
Si P appartient au noyau de f, P(a) et P'(a) sont nuls ; a est donc racine double de P;
de même b est racine double. P admet donc 4 racines comptées avec leur ordre de multiplicité. Ce n'est possible que si P est le polynôme nul.
Effectivement, c'est clair. merci.
Ensuite je bloque sur la dernière question.
On a démontré que (1,(X-a),(X-a)(X-b),(X-a)2(X-b)) était une base de E.
Il faut alors déterminer l'unique PE tel que f(P)=(0,1,1,0).
Pour cela, j'ai posé la définition et placé P dans la base, puis j'ai résolu le système. Au final, j'obtiens quelque chose de bien complexe. Je me demande alors si c'est la bonne manière de répondre à la question 
?
Merci.
Bonjour
f(1) = (1,0,1,0)
f(X-a) = (0,1,b-a,1)
f((X-a)(X-b)) = (0,a-b,0,b-a)
f((X-a)²(X-b)) = (0, 0,0,(b-a)²)
exprime f(P) comme combinaison de ces quatre quadruplets (la première composante ne peut venir que du premier quadruplet, puis la troisième ne pourra plus provenir que du deuxième quadruplet etc)
Au final, je trouve :
P(x) = (1/(b-a)) (x-a) + (1/(a-b)) (x-a)(x-b) + (2/(b-a)2) (x-a)2(x-b)
Est-ce cohérent ?
sais tu que c'est super facile de vérifier ? il te suffit de calculer f(P), avec le P que tu as trouvé ...
Bonjour,
Après bien des tentatives, je bloque toujours dessus.
Je n'arrive pas à comprendre pourquoi ça :
f(1) = (1,0,1,0)
f(X-a) = (0,1,b-a,1)
f((X-a)(X-b)) = (0,a-b,0,b-a)
f((X-a)²(X-b)) = (0, 0,0,(b-a)²)
Merci.
as-tu lu ton énoncé ? f(P) est tout de même donné explicitement !
si tu ne sais pas calculer P(a), P'(a), P(b), P'(b) pour P = 1, P=(X-a), P=(X-a)(X-b), P=(X-a)²(X-b), il y a un souci, non ?
On a démontré que (1,(X-a),(X-a)(X-b),(X-a)2(X-b)) était une base de E.
Il faut alors déterminer l'unique PE tel que f(P)=(0,1,1,0).
On veut alors P(a)=0
P'(a)=1
P(b)=1
P'(b)=0
C'est pourquoi j'ai exprimé un polynôme P quelconque dans la base. Soit (1,2,3,4)4, on a alors :
P(x)=1*1+2(x-a)+3(x-a)(x-b)+4(x-a)2(x-b)
P'(x)=2+3(x-b)+3(x-a)+4*2(x-a)(x-b)+4(x-a)2
D'où P(a)=1
P'(a)=2+3(a-b)
P(b)=1+2(b-a)
P'(b)=2 +3(b-a)+4(b-a)2
Puis résolu le système, j'obtiens finalement :
P(x) = (1/(b-a))*(x-a) + (1/(a-b))*(x-a)(x-b) + (2/(b-a)2)*(x-a)2(x-b)
P'(x)=(1/(b-a))+(1/(a-b))*(x-b)+(1/(a-b))*(x-a)+(2/(b-a)2)*2(x-a)(x-b)+(2/(b-a)2)*(x-a)2
Est-ce la bonne manière de répondre à la question ?
Merci.
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