Bonjour, j'ai du mal avec un exercice liant matrices et suites.
Voici l'énoncé avec les questions:
Une population de rongeurs femelles ayant un cycle de reproduction de 3 ans a les caractéristiques suivantes.
Chaque femelle donne en moyenne naissance à 6 femelles durant sa deuxième année et à 10 femelles durant sa troisième année.
Seul un rongeur sur deux survit au-delà de sa première année et seuls 40% de ceux qui survivent la deuxième année survivront jusqu'à la troisième année.
On désigne respectivement par a(indice n), b (indice n), c (indice n) les effectifs des femelles juvéniles, des femelles préadultes (de 1 an) et des femelles adultes (de 2 ans), n étant un entier naturel qui indique le nombre d'années écoulées depuis l'instant initial (pour n=0). On suppose que la population initial comporte 100 femelles juvéniles.

On considère les matrices:

    (  0      6    10 )                  ( a (indice n) )                 ( 100 )
A = (  0.5    0     0 )   P (indice n) = ( b (indice n) )   P (indice 0)= (  0  )
    (  0      0.4   0 )                  ( c (indice n) )                 (  0  )


1) Justifier que P (indice n+1)= AP(indice n)
Je n'arrive pas à justifier cette question car je pense avoir mal compris la matrice A. Les colonnes représentent la 1ere, la 2e, et la 3e année tandis que la ligne 1: les naissances des femelles, les lignes 2 et 3: les survies des femelles, mais pourquoi mettent des 0 0 après 0.5 et de même 0 0.4 0 ? que signifie ces 0 ?

2)Calculer P(indice 1), P(indice 2), P(indice 3). Interpréter les résultats obtenus.
              ( 0  )
*P(indice 1)= ( 50 )
              ( 0  )

Phrase d'interprétation: 1 an après l'instant initial, il n'y a aucune femelle juvénile, ni adultes mais il y a 50 femelles préadultes

              ( 300 )
*P(indice 2)= (  0  )
              (  20 )

Phrase d'interprétation: 2 ans après l'instant initial, il y a 300 femelles juvéniles, aucune femelle préadulte et 20 femelles adultes.

              ( 200 )
*P(indice 3)= ( 150 )
              (  0  )

Phrase d'interprétation: 3 ans après l'instant initial, il y a 200 femelles juvéniles, 150 femelles préadultes et aucune femelle adulte.

PS: qu'est ce que l'instant initial ?)

3) Exprimer P(indice n) en fonction de A et de P(indice 0)
              
P (indice n) = A (puissance n) x P (indice 0)

                               (puissance n)
              (  0   6   10  )                      (100 )
P (indice n)= ( 0.5  0    0  )                  x   ( 0  )
              (  0   0.4  0  )                      ( 0  )


4) Décrire la composition de la population pour:
a. n=5  b. n=10  c. n= 20

               ( 1200 )
a. P(indice 5)=(  450 ) il y a donc 1200 femelles juvéniles, 450 femelles préadultes et 40 femelles adultes 5 ans après
               (   40 )
l'instant initial.

                 ( 45900 )
b. P(indice 10)= ( 11200 ) il y a donc 45900 femelles juvéniles, 11200 femelles préadultes et 2340 femelles adultes 10
                 (  2340 )
ans après l'instant initial.

                  ( 46604100 )
c. P(indice 20) = ( 11650500 ) il y a donc 46 604 100 femelles juvéniles, 11 650 000 femelles préadultes et 2 330 300  
                  ( 2330300  )
adultes 20 ans après l'instant initial.

Voila, si quelqu'un peut m'aider je lui en serai très reconnaissante!
Bonne soirée!