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Une jolie formule avec le produit vectoriel

Posté par
perroquet
17-01-21 à 12:04

Bonjour à tous.

Un ancien collègue m'a envoyé ce résultat en me demandant si je le connaissais.

une jolie formule

u,v,w sont trois vecteurs d'un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3. On a:
(u.u)\ (w.v) = (u.w)\ (u.v) + (u\wedge v).(u\wedge w)


Je sais le démontrer mais je ne me souviens pas d'avoir vu une telle égalité.
Aussi, je vous poserai trois questions:
1) Démonstration de l'égalité
2) Est-elle connue ?
3) Application(s) ? (mon collègue l'utilisait pour démontrer une formule de trigonométrie sphérique).

Ne blankez pas vos réponses, SVP (surtout pour les deux derniers points)

Posté par
LeHibou
re : Une jolie formule avec le produit vectoriel 17-01-21 à 14:55

Bonjour,

Ça se rapproche sérieusement du double produit vectoriel, qui me semble même être une étape possible pour la démonstration :

Posté par
carpediem
re : Une jolie formule avec le produit vectoriel 17-01-21 à 15:05

salut

si u et v sont colinéaires alors le résultat est immédiat ... puisque u^v = 0

supposons donc u et v non colinéaires et posons  n = u \land v

il existe alors des réels a, b et c tels que : w = au + bv + cn

(u.u) (v.w) = (u.u) [a(u.v) + b(v.v)] = a ||u||^3 ||v|| \cos (u,v) + b ||u||^2 ||v||^2   \red (1)

de plus   u \land n = u \land (u \land v) = (u.v)u - (u.u)v   donc

(u \land v).(u \land w) = n.[b u \land v + c u \land n] = b(n.n) + c n.(u \land n) = b ||n||^2 = b ||u||^2 ||v||^2 \sin^2 (u,v) = b ||u||^2 ||v||^2 - b||u||^2||v||^2 \cos^2 (u,v)  \red (2)

(u.w)(u.v) = [a (u.u) + b (u.v)] (u.v) = a (u.u) (u.v) + b (u.v)^2 = a ||u||^3 ||v|| \cos (u, v) + b ||u||^2 ||v||^2 \cos^2 (u,v)   \red (3)

(2) + (3) donne bien (1)

merci pour ce joli exercice qui m'a permis de réviser le produit vectoriel ...


2/ difficile de te répondre !! sous forme de boutade je te dirais bien :

a/ je connais tout ce que j'ai appris ... et que je n'ai pas oublié
b/ elle est connue ... de tout ceux qui la connaissent          lapalissade de bon aloi mais qui ne fait pas avancer le schmilblick ...

plus sérieusement et en rapport avec a/ : elle pourrait tout à fait être posée en exercice plus ou moins d'approfondissement car cette égalité met en œuvre les propriétés de base du produit vectoriel


3/ oui c'est toujours intéressant de pouvoir visualiser une égalité : on a deux nombres (en fait un seul puisqu'ils sont égaux) mais difficile de se les représenter

le produit vectoriel a une interprétation : aire du triangle ...
le produit scalaire n'en a pas ... (enfin je ne connais pas)

donc difficile même d'avoir une idée de ce que peut représenter le premier membre ...

je suis curieux d'avoir des éclaircissements sur comment l'utilise ton collègue

merci par avance

Posté par
GBZM
re : Une jolie formule avec le produit vectoriel 17-01-21 à 17:02

Bonjour,

En passant par le produit mixte, on fait un lien immédiat avec la formule du double produit vectoriel :

(u\wedge v)\cdot(u\wedge w)=[u\wedge v, u,w]= \left((u\wedge v)\wedge u\right)\cdot w .

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