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Une partition de IN*
Bonjour.
Je bloque sur certaines questions de mon DM.
Je vous met l'énoncé en grande partie parce que la plupart des questions sont liées.
Soit a un nombre réel irrationnel strictement supérieur à 1.
On définit b par la relation (1/a)+(1/b)=1. On pose A={E(na),n
IN*} et B={E(nb),nIN*}.
On se propose de prouver que A et B forment une partition de IN*, c'est-à-dire que A et B sont deux parties non vides de IN*, disjointes et dont l'union A U B est égale à IN*.
1) a) Montrer que b>1 et que b est irrationnel.
b) Montrer que la propriété de partition serait fausse si a était rationnel
2) a) Montrer que A est une partie de IN* non vide.
b) Montrer que les entiers E(na), avec nIN*, sont deux à deux distincts.
3) a) Montrer que E(na)=k ssi k/a < n < (k+1)/a, ce qui équivaut à n/(k+1) < 1/a < n/k.
b) En déduire que s'il existe un entier nIN* tel que E(na)=k, alors nécessairement n=E((k+1)/a).
4) En utilisant 3), démontrer que A et B sont disjoints, c'est-à-dire A inter B=0.
5) a) Soit kIN*. On suppose que k n'appartient pas à A.
Montrer qu'il existe nIN* tel que (k+1)/a -1 < n < k/a.
En déduire que kB.
b) Conclure.
Voilà, ne vous inquiétez pas, c'est pas tout ça que j'ai pas réussi.
Les endroits où j'ai bloqué sont la 1)b), la 2)b) et dans la 5), le "en déduire que k..." et le b).
Merci de votre aide 
Bonjour
1b): Si a=p/q est rationnel, alors b=m/n aussi, et alors pm=aqm=pnbA
B
2)b) Comme a>1, si m
E(an).
5)a) En remplaçant 1/a par 1-1/b, on trouve k+1-1-(k+1)/b
b) On vient de montrer que A
B=N*, puisque ce qui n'est pas dans A est dans B!
Merci bien !
Et je n'ai pas non plus réussi les deux dernières questions :
6) a) On note An=A
{1,2,...,n}. Montrer que card An = E((n+1)/a).
b) Sans utiliser 4) et 5), démontrer que card An + card Bn = n.
c) En déduire une autre preuve de A U B = IN* en supposant connu le résultat de la question 4).
7) Soit mIN*. On prend a=(
(1+m²))/m.
On note K le plus petit entier naturel non nul n'appartenant pas à A.
a) Montrer que K=E(c), avec c=((1+m²))(m+(1+m²)).
b) Montrer que pour tout t[0,1], on a : 1+t/(22) =< (1+t) =< 1+t/2.
c) En déduire que K=2m²+1.
En attendant une réponse, je continue de chercher de mon côté. Je vous tiens au courant des éventuels résultats.
Merci d'avance
Bon, alors, pour la 6) b), je suis censé arriver à n-1 < card An + card Bn < n+1, mais moi je trouve n au lieu de n-1 (en utilisant 3) a) et en additionnant les deux inégalitées).
Et sinon, la 6) c), c'est bon. En même temps, il suffit de faire tendre n vers l'infini ^^
Je me relance dans la 7).
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