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une partition de N ∗
BONJOUR tout le monde !
j'ai vu un exercice sur internet
l'énoncé:
Pour α > 0, on désigne par Spec(α) = {⌊kα⌋, k ∈ N}. Montrer que Spec(α) et Spec(β)
forment une partition de N∗si et seulement si (1/α)+(1/β)= 1 et α et β sont irrationnels
j'ai voulu montrer la première implication , j'ai constaté que pour que la deuxième condition de la partition ( celle qui dit que si on prend i et j deux ensembles différents de N∗ on trouvera que ⌊kiα⌋ et ⌊kjβ⌋ disjoints avec ki (resp kj) éléments de i(resp j)) soit vérifiée il est nécessaire d'avoir β et α irrationnels car sinon il serait facile de donner un contre exemple(ce n'est pas du tout une démonstration car elle manque de plusieurs choses voire un raisonnement cohérent))
j'ai vraiment besoin de bien comprendre cet exercice et de quoi parle t il car il me parait intéressant , pouvez vous m'aider ?
MERCI d'avance
salut
avec ki (resp kj) éléments de i(resp j))
pour avoir une partition il faut deux choses :
l'union est N
l'intersection est vide ...
si a et b sont irrationnels tels que 1/a + 1/b = 1 peut-on trouver des entiers p et q tels que E(pa) = E(qb) ?
réciproquement s'il existe des entiers p et q tels que E(pa) = E(qb) que peut-on en conclure sur a et b
enfin pour tout entier n de N* existe-t-il un entier k tel que n = E(ka) ou (exclusivement) n = E(kb) ?
enfin pour mieux comprendre tu peux commencer par regarder ce qui se passe quand a et/ou b sont rationnels ...
Bonjour ouma2003
Il y a probablement une petite erreur d'énoncé car, tels que définis, spec(a) et spec(b) contiennent au moins {0}.
pour la première je trouve que E(pa) E(qb) car :
a et b irrationnels alors 1/a et 1/b irrationnels donc si je suppose qu'il existe p et q tel qu'on a cette égalité entre E(p*1/a) et E(p*1/b) alors celle ci est une condition nécessaire pour que a+b=1 or c'est pas possible donc on ne peut pas avoir cette égalité(j'ai remplacé a et b par leurs inverses)
Tel que c'est écrit n'est pas contenu dans
* (donc ne peut faire partie d'une partition d'icelui )
malou edit > Ltx réparé
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