Je comprend pas ce que c'est "ck" ?
Enfin, en fait je trouve que tout ton énoncé est pas très clair ...

salut
on va faire la premiere equivalence.
le deuxieme, c'est la meme chose.

=>P est paire.
d'ou pour tout X dans R, P(-X)=P(X)
or P(X)=somme(k=0,n)ck X^k
et P(-X)=somme(k=0,n)ck (-X)^k=somme(k=0,n)ck*(-1)^k X^k

on fait P(X)-P(-X)=0
et on a somme(k=0,n)ck*X^k[1-(-1)^k]=0
somme(k=0,n)ck*X^k[1-(-1)^k] est un polynome de degre au plus n.C'est le polynome nul donc tous ses coefficients sont nuls.
donc pour tout k dans [0,n], ck*[1-(-1)^k]=0.
(1-(-1)^k) different de 0(donc egal a 2) pour k impair.
donc etant donne que R est integre on a forcement ck=0.
donc pour k impair ck=0.
donc CQFD.

<= pour tout k impair, ck=0.
donc P(X)=somme(k=0,n)ck X^k
s'ecrit aussi : P(X)=somme(i=0,E(n/2))c(2i) X^(2i)+
somme(i=0,E((n-1)/2))c(2i+1) X^(2i+1)
(on a separé termes X^k paire et X^k impaire.

comme pour tout k impair, ck=0
on a P(X)=somme(i=0,E(n/2))c(2i) X^(2i)
on calcule P(-X)=somme(i=0,E(n/2))c(2i) (-X)^(2i)
P(-X)=somme(i=0,E(n/2))c(2i) [(-X)^2]^i
P(-X)=somme(i=0,E(n/2))c(2i) [X^2]^i=P(X)
donc P est paire.

meme chose pour P impaire.