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Niveau exercices
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* Une petite équation fonctionnelle *

Posté par
infophile 16-03-07 à 22:58

Bonsoir

Suite à la demande de Cauchy je vous propose un exercice sympa que mon prof m'a donné :

Quelles sont les fonctions 3$ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} qui vérifient pour 3$ x\neq y et 3$ f(x)\neq f(y) : 3$ f\(\frac{x+y}{x-y}\)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}

Bonne réflexion !

PS : J'adore les équations fonctionnelles

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:06

Re,

merci pour l'exo

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:09

De rien

Si je poste mon DM d'histoire ça te dit aussi ?

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:13

Euh faut voir

Posté par
mikayaoure : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:15

salut kevin

une vague intuition de tangente ? non ?

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:16

Salut mikayaou

Comment ça ?

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:17

L'idendité est solution

Posté par
borneore : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:17

Bonjour à tous

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Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:19

Cauchy > Oui

Borneo > La France et son Empire colonial (seulement 4 questions et une synthèse).

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:23

Kevin,il n'y a aucune hypothèse de continuité ou de croissance?

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:25

Toute fonction linéaire marche quelle avancée

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:27

Non

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:28

En plus je viens de sortir une c...

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:30

Cauchy > Si on prend une fonction linéaire 3$ g(x)=ax alors :

3$ g\(\frac{x+y}{x-y}\)=a.\frac{x+y}{x-y}=\frac{ax+ay}{x-y}=\frac{f(x)+f(y)}{x-y}\neq \frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:30

Oui

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:33

T'as latexifié pour rien mais c'est joli

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:33

Merci

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:54

Un début,

si f s'annulait en un point a différent de 0 alors on aurait:

3$f(\frac{x+a}{x-a})=1 or l'application:

3$x \rightarrow \frac{x+a}{x-a} est une bijection de R sur R donc f serait constante.

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:56

Ah bien vu j'avais pas pensé à ça moi

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 16-03-07 à 23:58

Les constantes étant évidemment solutions.

Bien sur si f s'annule en un point différent de 0 elle est donc nulle.

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 00:08

Si f non constante ne s'annule pas alors f garde un signe constant par exemple positif et alors,

3$f(\frac{x+y}{x-y}) >0 pour tout x,y.

Donc 3$f(x)-f(y)>0 pour tout x différent de y et f(x) différent de f(y) mais en échangeant les roles de x et y ceci est impossible.

Donc f s'annule en 0.

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 00:10

On en déduit f(1)=1 et f(-1)=-1 on doit bien pouvoir en déduire que c'est l'idendité

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 00:14

Pour montrer que f(0)=0 il y a plus simple et sans utiliser l'hypothèse de la continuité

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:09

Pour montrer que f(0)=0 on montre que f(0) a deux signes différents.

3$f(0)=f(\frac{x-x}{2x})=\frac{f(x)+f(-x)}{f(x)-f(-x)} et:

3$f(0)=f(\frac{-x+x}{-2x})=\frac{f(-x)+f(x)}{f(-x)-f(x)}

Posté par
mikayaoure : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:13

joliii !

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:20

Ah oui j'y avait pas pensé, j'ai fait autrement

Joli en effet

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:23

Merci

Décidément on fait jamais pareil

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:37

Je montre maintenant que f est impaire:

3$f(z)=f(\frac{x+1}{x-1})=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}

et 3$f(\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1})=f(\frac{1+x}{1-x})=f(-z)=\frac{f(\frac{1}{x})+1}{f(\frac{1}{x})-1}=\frac{\frac{1}{f(x)}+1}{\frac{1}{f(x)}-1}=\frac{f(x)+1}{1-f(x)}=-f(z)

en utilisant le fait que 3$f(z)f(\frac{1}{z})=1 car:

3$f(\frac{x-1}{x+1})=\frac{f(x)-1}{f(x)+1} et:

3$f(\frac{x+1}{x-1}}=\frac{f(x)+1}{f(x)-1}

Je sens que je me suis bien compliqué la vie.

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:42

Alors j'ai vraiment été bete vu que f(0)=0 donne directement l'imparité

Posté par
mikayaoure : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:43

si f(0)=0 => f(x/x) = f(x)/f(x) => f(1) =1

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:47

J'ai dit une betise au-dessus c'etait une bijection sur R-{1}.

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 01:47

Oui f(1)=1 et f(-1)=-1 je l'avais dit au dessus.

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 02:01

Oula oui tu t'embêtes bien pour la parité, moi j'avais simplement dit :

Pour y=-x on a :

f\(\frac{x-x}{x+x}\)=f(0)=\frac{f(x)+f(-x)}{f(x)-f(-x)}=0\Leftright f(-x)=-f(x)

Posté par
mikayaoure : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 02:02

...avec x et y non nuls

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 02:04

Oui

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 19:25

Up

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 20:53

Un indice pour ceux qui voudraient essayer

Citation :
Indice:

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Up

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 21:41

Salut,

j'ai réfléchi tout à l'heure j'ai vu que si il existait a>0 tel que f(a) soit différent de a,alors il existe en fait une infinité.

Si:

3$\frac{x+a}{x-a}=x,on a alors:

3$f(x)=f(\frac{x+a}{x-a})=\frac{f(x)+f(a)}{f(x)-f(a)} et alors:

f(x) est différent de x car sinon il ne peut vérifier:

3$\frac{f(x)+f(a)}{f(x)-f(a)}=f(x) bon c'est pas très clair car j'ai pas conclu.

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 21:49

J'ai pas compris

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 22:17

En fait c'est pas très clair je résouds:

3$\frac{x+a}{x-a}=x c'est une équation du second degré en x.

Et ensuite je dis que si f(a)=a alors f(x) vérifie la même équation et que sinon elle ne peux la vérifier m'enfin ca avance pas à grand chose.

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 22:25

Ok. J'ai mis un indice plus haut si besoin

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 22:29

Ok,je regarde pas tout de suite je sens que j'étais pas très loin j'essaye de bidouiller encore un peu

Posté par
garnouillere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 23:43

Citation :
En fait c'est pas très clair je résouds:

à vous tous, je rappelle en toute amitié :
je résous, tu résous, il résout

ça peut faire "mauvais genre" de ne pas savoir conjugué ce verbe... je connais des gens à qui s'est arrivé le jour d'un concours...
idem pour "conclure", c'est "on conclut"

je dis ça comme ça en passant, sur un "tchat", c'est pas grave mais faut bien l'enregistrer!

beau topic!

Posté par
garnouillere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 23:44

faute de grand-mère!

Citation :
ça peut faire "mauvais genre" de ne pas savoir conjugué ce verbe...

vous avez bien sûr lu "conjuger"

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 23:45

Moi j'avais la mauvaise habitude d'écrire : On conclue

Posté par
infophilere : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 23:45

Citation :
vous avez bien sûr lu "conjuger"


Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 17-03-07 à 23:46

Merci pour la correction,pourtant ca m'arrive pas souvent les fautes d'orthographe

Posté par
garnouillere : * Une petite équation fonctionnelle * 18-03-07 à 00:17

celle-là, tu peux pas la deviner..
idem pour "dissoudre" et "absoudre"
... et donc je t'absous bien volontiers...
tu imagines la tête du copain qui a fait cette erreur devant un inspecteur le jour d'une inspection? c'est vraiment trop c**

Posté par
Cauchyre : * Une petite équation fonctionnelle * 18-03-07 à 00:26

Oui mais bon je me suis pas relu la

Posté par
minkus Posteur d'énigmesre : * Une petite équation fonctionnelle * 18-03-07 à 00:44

Salut

Dis Garnouille, et le probleme de kevin il est resoluble ou resolvable ?

Comment qu'on dit ?

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