bonjour jamo

est ce que c'est abordable de 7 à 77 ans ?

Salut Jamo, et merci

Je chercherai

Estelle

Je ne sais si on peut en faire une démonstration géométrique. Mais je me suis amusé à en trouver une démonstration algébrique.
Soient , , trois points de la courbe d'équation .
Ces trois points sont distincts, donc puisque la courbe est une fonction de R vers R, on a , , .
Soit isobarycentre de A,B,C. Alors
Ce point G est sur l'axe des ordonnées ssi x_g=0
Les trois points sont alignés est équivalent à et sont colinéaires, ce qui s'exprime par l'équation

Pour simplifier, on va appliquer l'égalité remarquable , puis plus tard,


On simplifie par les facteurs communs non nuls




et on simplifie par qui n'est pas nul

donc la condition d'alignement est équivalente à celle du point G sur l'axe des ordonnées.

Bonjour,

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Supposons que nos trois points soient alignés, sur la droite d'équation y = ax + b (une droite "verticale" est impossible). Les coordonnées de ces trois points vérifient alors
y = x³ et y = ax + b. Donc leurs abscisses sont les racines de l'équation
x³ - ax - b = 0  (1)
La somme des racines de cette équation est nulle (c'est, au signe près, le coefficient de x²). Donc l'isobarycentre des trois points est sur l'axe des ordonnées.

Réciproquement, si les abscisses x₁, x₂ et x₃ des trois points ont une somme nulle, ils vérifient l'équation (x - x₁)(x - x₂)(x - x₃) = 0, qui est nécessairement de la forme (1), et sont donc alignés.

bonjour

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les coefficients directeurs de la droite qui joint les points d'abscisses a et b est (a³-b²)/(a-b) = a²+ab+b²
on peut définir l'isobarycentre de plusieurs points le point qui a pour abscisse et pour ordonnée les moyennes respectives des abscisses et des ordonnées de ces points
si l'isobarycentre de points ayant pour abscisses a, b, c a pour abscisse 0, c'est que c = -a-b
coefficient directeur de (ac) : a³+a(-a-b)+(-a-b)² = a²-a²-ab+a²+2ab+b² = a²+ab+b²
(ab) et (ac) ayant le même coefficient directeur, ces droites sont collinéaires

réciproque
si a, b, c sont alignés, a²+ac+c² = b³+bc+c²
a²-b² = bc+c²-ac-c² = bc-ac
-(a+b)(b-a) = c(b-a)
-(a+b) = c; a+b = -c; a+B+c = 0

Correction :

la solution que je comptais proposer est exactement celle proposée par dhalte.

Une extension de ce problème :

On considère une courbe d'équation y=ax³+bx²+cx+d., et 3 points A, B et C sur cette courbe.

Dans le cas où A, B et C sont alignés, quel est le lieu géométrique de leur isobarycentre G ?

(Je ne connais pas la solution de ce problème, je n'ai pas cherché, il n'y en a peut-etre pas ...)

Bonjour,

par la méthode que j'ai proposée pour la question initiale, on trouve que le lieu est la droite .

Cordialement
Frenicle

Merci beaucoup frenicle !