Pardon voila l'exercice

Petite correction :
J'ai commencé par tracer la hauteur du triangle ABD issue de A et qui coupe [BD] en E disons.
J'ai ensuite tracé la hauteur/ médiane / bissectrice issue de B du triangle ABD. Elle coupe AC en F.
Je remarque que CD = DF = x ; AD = 2x. J'avoue sécher un peu sur la suite.

Bonjour,

On peut choisir par exemple BC = 1
On a alors DC = 0.25

On peut calculer BD dans le triangle BDC par Alkashi (puisque on connait DC, BC et l'angle DCB = 60°

Ensuite on utilise la loi des sinus ... (pas connue dans le secondaire ?)
ou alors, on réapplique alkashi dans le triangle BDC pour trouver la valeur du cos(DBC).

Et avec l'angle DBC maintenant connu, on déduit l'angle ABD.

Bonjour,
juste une petite remarque
AD=2x est faux AD = 3x



ensuite, par exemple, comme a dit candide2, que je laisse poursuivre

attention que on ne cherche pas la mesure de l'angle mais la valeur exacte de sa cotangente. écrite "le plus simplement possible"

Bonjour à tous,

Je ne sais pas ce qu'entend deruf par "sans utiliser la règle des sinus ou des cosinus". Mais si on peut utiliser les relations  habituelles de la trigonométrie, on a cotan(a+b)=[1-tan(a)tan(b)]/[tan(a)+tan(b)] où les tangentes s'expriment très simplement en fonctions des longueurs des côtés calculées par mathafou.
On a aussi immédiatement tan(a)=1/3.

Bonjour ,
Le dessin de mathafou t'indique le triangle  particulier AFD

Tu dois travailler sur 3
et trouver  cot(ABD) =

effectivement, AlKashi c'est la "règle des cosinus"

si on ne veut rien utiliser du tout de tout ça
et même sans utiliser les formules d'addition trigo (sin cos ou tan d'une somme)
c'est possible.
on n'utilisera que Pythagore et assimillés (hauteur d'un triangle équilatéral etc) pour calculer AE et BE et appliquer la seule formule de définition de la cotangente à la fin
ce sera seulement plus long que les trois lignes en tout de la méthode fph67
mais du coup que veut dire "utiliser la trigo mais pas ceci celà de la trigo" ?

Mon avis était de ne garder que les 3 (donc sans passer par les valeurs décimales )dans la formule rappelée  par fph7  .
A quel moment dans l'énoncé on trouve l'imposition de calcul

Je disais cela en regardant l'énoncé du 8à 12h28

Ok
Ta méthode fait momentanément passer par 13

Rebonjour tout le monde ! Merci pour tous vos précieux retours.
Merci d'abord à Mathafou d'avoir corrigé mon erreur, c'est effectivement 2x, je me suis un peu emmelé les pinceaux en essayant de décrire sans la figure sous les yeux.

Je m'étais peut être mal exprime mais je ne voulais pas dire pas de trigo du tout, uniquement sans utiliser la loi des sinus et celle des cosinus.

En ce sens, l'utilisation de la tangente d'une somme est judicieuse et très directe, merci fph67 pour cette proposition !

Le commentaire de Mathafou sur l'existence d'une méthode sans recourir du tout aux formules de tangentes de somme m'a cependant titillé un peu et je me suis remis au travail pour creuser cette piste.
Voilà mon raisonnement :

1. BD = 13 en utilisant Pythagore dans BFD

2. On note a = BE, b = ED et c = AE. On a alors BD = a+b = 13

3. On applique Pythagore dans AEB et AED. On obtient c²+b²=9 et a²+c²=16.
Par soustraction membre à membre : a²-b²=7
D'apres l'identité remarquable, on a donc : (a-b)(a+b)=7
Or : a+b = 13
Donc : a-b = [713 / 13

Par addition membre a membre : a-b + a+b = 2a = 2013 /13
D'où : a = 1013 /13
Puis b = 313/13
A partir de a² + c² = 16 on peut maintenant en deduire c² = 108/13
Donc c = 63/13

Donc dans le triangle ABE : cot= 53 /9

ma méthode pour calculer AE et BE est un tout petit peu plus rapide à mon avis :

la base AD de ABD étant les 3/4 de AC, l'aire de ABD est les 3/4 de celle de ABC (même hauteur issue de B)
aire ABD = 3/4 x 4²3 / 4 = 33

mais cette aire est aussi 1/2 BD.AE
ceci donne AE en une seule ligne de calcul
puis Pythagore dans ABE donne BE

Oui effectivement, plus élégante et plus efficace ! Merci pour ton retour !

Avec les triangles rectangles ADE et  BFD  on a:
BD=13
et ED/3=1/13--->BE=10/13
Dans ABE  on a AE²=16-(1013/13)²
--->AE=108/13   en notant que 108=63 soit 63/13
on cherche cotg B=BE/AE soit  10/63 qui se simplifie en 53/9

Bonjour à tous,
Pas mal les triangles rectangles semblables