une sauterelle mathématicienne

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une sauterelle mathématicienne
Posté par 
perroquet  27-02-22 à 08:30
Bonjour à tous.

Voici un énoncé très ludique (il m'a fait penser à Vassilia). Il a été proposé dans une compétition très sérieuse.

un criquet mathématicien

 Un criquet démarre à l'origine dans le plan et fait une suite de bonds. Chaque bond est de longueur 5 et après chaque bond, le criquet se retrouve en un point dont les coordonnées sont toutes les deux entières; ainsi, il y a 12 points possibles d'atterrissage pour le criquet après le premier bond.  Quel est le plus petit nombre de bonds que le criquet devra réaliser pour atteindre le point (2021,2021)? 
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ty59847re : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 08:55
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La longueur de chaque saut est fixe, donc si on pouvait aller en ligne droite, on aurait une première estimation en divisant la distance totale par 5.

Mais on ne peut pas aller parfaitement en ligne droite.

On peut alterner des sauts (4,3) et (3,4), et donc en 2 sauts, on avance de (7,7).

C'est ce qui se rapproche le plus de la ligne droite.

En 288*2 sauts, on arrive au point (288*7, 288*7), c'est à dire (2016,2016). 

Magique, chanceux, il suffit de faire 2 sauts (5,0) et (0,5) pour arriver au but.

Ce chemin fait 578 sauts, et il ne peut pas y avoir de chemin plus court.
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Sylvieg re : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 09:39
Bonjour,

@ty59847,

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Je pense qu'on peut s'éloigner de la ligne droite :

Par exemple 144 bonds identiques (4,3) qui amènent au point (1444, 1443) suivi de 144 bonds (3,4) et des deux (5,0) et (0,5).

En fait, l'ordre des bonds n'a pas d'importance.
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dpire : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 09:40
Bonjour,

Et merci pour ce cas concret

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Il fait alternativement des saut dans le sens des diagonales d'un rectangle pythagoricien  puis il déforme légèrement* ce rythme vers

1995 soit 578 sauts.

*je fignole un dessin...
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Sylvieg re : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 09:42
Oups 
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Remplacer 144 par 288
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ty59847re : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 09:49
@Sylvieg

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Oui, évidemment, l'ordre n'a pas d'importance.

En associant systématiquement un saut (3,4) et un saut (4,3), ça permet juste de voir qu'on fait en gros des sauts (7,7), et donc qu'il faut diviser 2021 par 7 pour avoir un première approche.

L'exercice serait plus difficile si on voulait atteindre le point (2022,2022). Ou plus difficile encore (2021,2022).
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dpire : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 10:03
Il faut bidouiller pour les 5 ou 6 derniers sauts.
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dpire : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 11:23
Je donne une solution (mais on peut chercher mieux ).

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Pour(2021/2021 ) il y a  8 chemins en étoile,le coup c'est de trouver

un bon raccordement.

 Posté par 
mathafou re : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 11:50
Bonjour,

d'après l'encyclopédie des pièces féériques  cette pièce porte le nom de Bucéphale 

on peut atteindre n'importe quelle case du moment que en trois sauts on peut se déplacer de 1 case en horizontal ou en vertical

car 3+3-5 = 1 

évidemment répéter ça est totalement peu économique ... 
 Posté par 
dpire : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 12:09
Je donne deux autres solutions qui me semblent optimales.

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soit 180 sauts.

 Posté par 
royannaisre : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 16:26
bonjour

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on atteint le point (2021,2021)avec (en rouge)

288 vecteurs de coordonnées(4,3)

288                                                          ( 3,4)

1                                                                 (0,5)

1                                                                 ( 5 0)

on atteint le point (2022,2022)avec  (en bleu)

286 vecteurs de coordonnées(4,3)

286                                                          ( 3,4)

4                                                                 (0,5)

4                                                                ( 5 0)

on atteint le point (2021,2022)avec  (en vert)

286 vecteurs de coordonnées(4,3)

290                                                          ( 3,4)

1                                                                 (-3,4)

2                                                                ( 0,5)

Dans tous les cas l'ordre est indifférent ce qui donne une multitude de possibilités

 Posté par 
dpire : une sauterelle mathématicienne  27-02-22 à 18:06
>royannais

Tu devrais multiplier les sauts par 2    (2002/3.5=572)
  Posté par 
dpire : une sauterelle mathématicienne  28-02-22 à 08:58
Ton parcours rouge est certainement le plus court..
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En partant du  576 ème saut avec la méthode 3/4 il reste  2 sauts 
à angle droit * .Soit un total de 578 sauts.

 *A noter que l'on peut prendre cette solution au départ ou n'importe quand 

* Modération > balises pour blanker ajoutées  *