Bonjour,

clairement

 Cliquez pour afficher

le maximum est 927
donc il y a un nombre fini de valeurs, donc la suite est périodique.

C'est simplement une suite de Lucas (Fibonacci généralisé) avec comme premiers termes 1 et 11. Non?

Il faudrait voir les termes après 58.

Ma suite ne contient qu'un terme sur deux: 1,12,35,94.
Elle a la particularité que les chiffres autour de la virgule forment la différence entre les nombres autour de la virgule. 94-35 = 59.

Bonjour,
sauf erreur (j'ai fait le calcul à la main), je trouve comme période 84 etcomme plus grande valeur obtenue 918.

J'avais pas vu la règle

J'ai fait le calcul (à la machine) et j'ai 108 nombres avant de revenir à 1. Avec un maximum à 918.

 Cliquez pour afficher

1
11
12
23
35
58
813
312
26
68
814
413
38
811
110
2
22
24
46
610
7
77
714
412
27
79
916
616
613
310
4
44
48
812
211
14
45
59
914
414
49
913
313
37
710
8
88
816
615
512
28
810
9
99
918
818
817
716
614
411
16
67
713
311
15
56
611
18
89
917
717
715
513
39
912
212
25
57
712
210
3
33
36
69
915
515
511
17
78
815
514
410
5
55
510
6
66
612
29
911
111
13
34
47
711
19
910
10

J'aurais dû utiliser une machine, j'ai fait (au moins) une faute de calcul !

Bonjour,
Sympa cette suite

La réponse de Littefox est la bonne (what else!)
n'importe quel nombre a donc sa suite en deux étapes :
* atteindre 1
On obtient  1 avec les prédécesseurs  suivants:
----47 ; 711;  19;   910 ;10 ;1
et le cycle se poursuit avec la période trouvée de 108 et la hauteur de vol 918.
Remarque :
pour un grand  nombre (donc une grande somme) le terme suivant
peut être plus grand que 918
exemple  923 458 652 437 999 est suivi de 985  qui sera le max et
atteindra 1 en 14 coups  et rejoindra donc le cycle

Quelques observations:

* il est logique que le maxi soit 918 car la somme la plus grande est 9+9 --->9 18.

*avec un nombre de 3 chiffres on obtiendra  un  maxi de 9 précédent 3x9 soit 9 27

*donc on peu obtenir toutes les valeurs maxi  de 918--->927

* 2 nombres très particuliers de la suite:
829--->919 indéfiniment...

*et donc 919 qui est éternel dans sa suite

*le plus grand nombre d'étapes avant de rejoindre 1 (et donc le cycle de 108 ) est 103 pour 93

*Pour un nombre de 11 chiffres la somme la plus grande est 99
donc on obtiendra un maxi de 999.

*au delà  il faudra atteindre un nombre de 111 chiffres pour atteindre un max de 9999  mais toujours avec le retour à 1 et le fameux cycle de 108.

Bonjour,
Je reviens sur cette suite qui est vraiment particulière.
En effet ,quel que soit son 1 er élément elle est très rapidement* attirée vers 1 et le cycle affiché par Littlefox (26-09-24 à 13.07)
Par exemple: 4 190 868 261--->
145-510-6-66-612-29-911-111-13-34-47-711-19-910-10-1
*j'ai fait un bidule qui me donne toutes les séquences
le plus grand nombre d'étapes est bien sûr 108  ,pour
le moment j'en suis à 103.

Comme certains aiment les challenges ,je propose de trouver le vol le plus long avant d'atterrir à 1.
Par définition ce nombre est 108

Le deuxième terme du cycle de 1 est bien sur le vol le plus long dans ce cycle. C'est donc 11 avec un vol de 107 étapes.

En dehors de ce cycle, il y a des nombres qu'i n'atteignent jamais 1, leur vol est donc infini?

Un nombre à 4 chiffres ne peut que descendre, en effet la somme est < 4*9 = 36 et donc on obtient systématiquement un nombre à 3 chiffres ou moins.

On peut facilement analyser tous les nombres inférieurs à 1000 pour voir lesquels n'arrivent jamais à 1.

Il n'y a en fait qu'un seul autre cycle: 919 -> 919.

Vérifié avec le code:

 Cliquez pour afficher

def get_next(n):
    p, s = n % 10, 0
    while n:
        n, d = divmod(n, 10)
        s += d
    m = 1
    while m <= s:
        m *= 10
    return p * m + s


if __name__ == '__main__':
    distance = {1: 0}
    for n in range(1, 1000):
        seen, step = {}, 0
        m = n
        while m not in distance and m not in seen:
            seen[m] = step
            m = get_next(m)
            step += 1
        if m in distance:
            d = distance[m]
            for m, s in seen.items():
                distance[m] = d + step - s
        else:
            l = step - seen[m]
            print(f"Other cycle found: {n} -{seen[m]}-> {m} -{l}-> {m}")
        print(n, distance.get(n))

 Cliquez pour afficher

...
107 11
108 290
109 299
110 2999
111 2999999999999999999999999999999999
...

Parce que 919 fini par 9, les nombres qui arrivent à ce cycle sont plutôt rares. Les premiers sont

919
...
199
289
379
469
559
649
739
829
1099
1189
...
3998
...
29999999999999999999999999999999999999999999

Merci pour ton travail
Je pense que cette suite est motivante.

Question subsidiaire: Comment exprimer les 29....9 qui arrivent dans la construction des vols les plus longs? Est-ce qu'on a besoin des puissances itérée de Knuth ?