Hello tout le monde.
Je suis en présence d'une exercice de maths qui me pose quelques problèmes, et je souhaiterais avoir un peu d'aide

Voila l'énoncé

Soit a un nombre réel strictement positif et différent de 1. On se propose d'étudier la suite (Un)n ds N définie par:

U0= 0, Un+l = a^Un pour tt n
On notera Ca la courbe de la fonction fa: x = a^x, dans le plan muni d'un repère. Enfin on note Pa la fonction f: x = xlna -lnx
On pourra utiliser tous les résultats connus sur les fonctions usuelles.

Partie I.

Tracé de  a.

1) Faire le tableau de variations de Pa
2) Discuter suivant les valeurs de a le nombre de solutions de l'équation Pa(x) = O. Tracer Ca en faisant apparaître les intersections de Ca avec la droite d'équation y=x

Partie II.

Etude de (Un)dans le cas où a > 1.

Etudier (Un) lorsque:
. a > e^(1/e),
. a = e^(1/e),
. 1 < a < e^(1/e),


Partie III.

Etude de (Un) dans le cas où 0 < a < 1.

On suppose donc dans cette partie que 0 < a < 1.
1) On note M le nombre x tel que a^x= x.
Justifier l'existence de M et montrer que 0 < M < 1.
2) Montrer que (U2n) et (U2n+ 1)  sont monotones et convergentes. On pourra faire intervenir la fonction
ha = fa ° fa.
3) On considère la fonction g : x = x Ina + ln /lna/ - In/lnx/.(les /../ sont des valeurs absolues)
a) Montrer que les solutions éventuelles de l'équation a^(a^x) = x appartiennent à ]0,1[.
b) Vérifier que a^(a^x) = x si et seulement si x app ]0, 1[ et g(x) = 0.
c) Déterminer les dérivées première et seconde de g.
d) En déduire suivant les valeurs de a l'allure du tableau de variations de g' ainsi que le signe de g'.
e) En déduire suivant les valeurs de a le tableau de variations de g sur ]0,1[.
f) Discuter suivant les valeurs de a le nombre de solutions de l'équation a^(a^x) = x.
(On pourra calculer g'(M) et (surtout) évaluer son signe dans le cas a < 1/(e^e)
4) Etudier la suite (un)n dans N

Alors, pour la 1er partie, j'y arrive, la 2e, je me débrouille en utilisant la partie I mais j'ai quand meme quelques doutes(en fait j'étudie Un/Un+1 et  je vois que le rapport est <1 en passant par la fction Pa, mais je sais pas trop quoi faire d'autre)
Et la 3e partie, capout
Alors si vous avez un peu de temps a me consacrer, ca serait bien sympa de votre part.
Merci d'avance.