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Niveau terminale
Unicité de la fonction exponentielle
Posté par HelloMath
Bonjour,
Je ne comprends pas le début de la démonstration de l'unicité d'une fonction exponentielle.
Citation :
Démontrons que exp(x) ≠ 0
Soit une fonction h définie sur R par h(x) = f(x)f(-x).
h est dérivable sur R puisque f(x) et f(-x) le sont.
Dérivons ce produit de fonctions.
h'(x) = f(x)(-f'(-x)) + f'(x)f(-x)
h'(x) = -f(x)(f'(-x)) + f'(x)(f(-x))
Or, nous avons supposé que f(x) = f'(x).
h'(x) = -f(x)(f(-x)) + f(x)(f(-x))
D'où h'(x) = 0.
Donc h est une fonction constante
Démontrons que exp(x) ≠ 0
Soit une fonction h définie sur R par h(x) = f(x)f(-x).
h est dérivable sur R puisque f(x) et f(-x) le sont.
Dérivons ce produit de fonctions.
h'(x) = f(x)(-f'(-x)) + f'(x)f(-x)
h'(x) = -f(x)(f'(-x)) + f'(x)(f(-x))
Or, nous avons supposé que f(x) = f'(x).
h'(x) = -f(x)(f(-x)) + f(x)(f(-x))
D'où h'(x) = 0.
Donc h est une fonction constante
Je ne comprends pas comment on a choisi la fonction en gras ? Pourquoi celle là en particulier ? Aussi, on montre que la dérivée vaut 0 et que h est constante, mais comment ça nous aide ???
Merci d'avance
Bonjour,
On a choisi la fonction h sous cette forme parce que... ça marche !
Celui qui l'a trouvée a eu une intuition brillante, ou alors il a tâtonné un moment avant de la trouver.
Il se trouve qu'en montrant que h est une fonction constante, on arrive à f(-x) = K/f(x).
Si on montre que K=1, on retrouve bien une propriété de l'exponentielle.
Reste à voir la suite de la démonstration.
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