Bonjour,
je cherche à montrer que le centre de symétrie d'une figure géométrique est unique, si elle existe.
Je connais le résultat suivant :
la composée de deux symétries centrales de centres et est une translation de vecteur
Bonsoir,
Supposons qu'il ait deux centres de symétries et distincts.
Quelle est l'image d'une figure par où et sont les deux symétries centrales de centres et ?
Ta question est trop vague :
Le graphe de la fonction "sinus" est une figure géométrique qui a plus de deux centres de symétrie.
De même, on considère uniquement les polygones convexes à n côtés où n>=3, pas des points ou des droites.
salut
soit P une figure convexe symétrique par rapport à I et s la symétrie associée à I ...
par définition (d'une symétrie centrale) pour tout point M de P s(M) est un point de P et I est le milieu du segment [Ms(M)]
soit J un autre centre de symétrie et t la symétrie centrale de centre J ...
Si ta figure est un ensemble borné (un ensemble fini est borné) il ne peut y avoir deux centres de symétrie puisque la figure serait invariante par des translations non nulles.
Bonjour,
Bravo sgu35 de prolonger ta réflexion
J'abonde dans la direction de luzak et je ne crois pas que l'on puisse trouver une démonstration sans utiliser le fait qu'il y a un nombre fini de points.
Avec ces données :
P un ensemble de points du plan.
s et r deux symétries de centre distincts qui laissent l'ensemble P globalement invariant.
On a :
La composée de s et r est une translation tu, de vecteur non nul u, qui laisse aussi l'ensemble P globalement invariant.
Soit A un point de P, et An = tnu(A) avec n entier naturel.
Tous les points An sont distincts.
Donc P est infini.
Si F1 est le symétrique de F par la translation de vecteur et que F2 est le symétrique de F1 par la translation de vecteur , alors F2 est le symétrique de F par la translation de vecteur , est-ce exact?
que c'est compliqué ! pour s'embêter avec ces histoires de symétrique ?
ton problème est bien :
Soit F une figure plane bornée, montrer que si il existe un centre de symétrie, alors il est unique ...
?
Plus exactement, si F1 est le symétrique de F par la translation de vecteur \vec{u}, alors la figure F2 symétrique de F1 par la translation de vecteur \vec{u} est le symétrique de F par la translation de vecteur \vec{2u}
et tu en ferais quoi ensuite ? et un polygone peut être borné sans être convexe
je ne vois pas où est la difficulté avec tout ce qui a été dit...
si il y a 2 centres de symétrie distincts, I et J et d=IJ0
la figure est bornée donc incluse dans une certaine boule de centre I et de rayon R
la translation T de vecteur 2.IJ laisse F invariant et donc toute translation Tk de vecteur 2k.IJ laisse F invariante (k )
tu prends un entier k supérieur à R/(2kd)
Tk(I)=N et IN > R donc N est dans la figure et pas dans la boule... contradiction... conclusion
Rebonjour,
On s'y perd un peu dans ce mélange de 2 démonstrations
@sgu35, on n'utilise pas l'adjectif "symétrique" quand il s'agit d'une translation.
On peut utiliser l'adjectif "translaté". Ou, plus long, " le point machin est l'image du point truc par la translation".
Si une figure est globalement invariante par la translation de vecteur u, alors elle est aussi globalement invariante par la translation de vecteur ku où k est un entier naturel.
Rebonjour,
@matheuxmatou,
Je ne sais pas si j'ai bien compris, mais le point I est le centre d'une symétrie qui conserve la figure.
Le point I n'a aucune raison de faire partie de la figure, ni ses images.
A 8h42, je proposais de partir d'un point A de la figure pour lui appliquer les translations.
exact Sylvieg tu as tout à fait raison (comme souvent )
merci de rectifier j'avais été un peu vite... pardon sgu35
disons effectivement qu'on prend un point A de F et que F tient dans la boule de rayon R centrée sur A... et je prend Tk(A) avec les paramètres précédemment cités.
ATk(A) > R et Tk(A) F
sauf avec le correctif
En fait, ce qui n'est pas clair depuis le début, c'est ce qu'on considère comme figure.
C'est pourquoi j'ai préféré préciser que je raisonnais sur un ensemble fini de points.
Un quadrilatère correspondrait à 4 points.
Même si on peut considérer qu'un quadrilatère c'est autre chose. Voir
Pour démontrer qu'une transformation laisse un quadrilatère ABCD globalement invariant, on se contente de démontrer que l'ensemble {A, B, C, D} est globalement invariant. On ne parle pas de l'intérieur du quadrilatère. Si ?
ouais on retombe sur ce pb de vocabulaire ...
il y a le cercle et le disque ... et il y a le carré et le carré ... sans pouvoir préciser si c'est le contour ou la surface ...
mais ça ne change pas grand chose puisqu'une symétrie conserve les barycentres donc l'enveloppe convexe de toute "figure"
de toute façon globalement invariant s'entend en terme ensembliste : l'image de la figure est la figure en tant qu'ensemble de points et sans s'occuper de savoir quel point est l'image de quel point
ce qui fait que convexe ou non n'a guère d'importance comme peuvent le montrer le cercle et le disque ...
***Bonjour***
Il a déjà été écrit que la finitude du nombre de points n'a rien à faire ici : tout ce qui compte, c'est que l'ensemble qui a une symétrie centrale soit borné. Ça s'applique donc à un cercle.
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