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unicité du supplémentaire ?
Bonsoir tout le monde , j'espère que vous allez bien ,
Ma question est la suivante :
Soit E un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit F un sous-espace vectoriel propre de F (c'est-à-dire que F≠{0} et que F≠E). Démontrer que F admet au moins deux supplémentaires distincts.
Si on fixe un supplémentaire G de F dans E , est ce qu'on peut justifier l'existence d'un vecteur de E qui n'appartient ni à F ni à G ?
salut
ben non !!!
par définition si G et F sont supplémentaires alors tout vecteur x de E s'écrit de façon unique x = f + g avec f dans F et g dans G ....
pardon plus précisément !!!
oui si f <> 0 et g <> 0 alors x n'appartient ni à F ni à G
il suffit de faire un dessin dans le plan ...
Bonjour
dans le plan de la géométrie ordinaire, avec un repère (O,i,j) comme d'hab au lycée, considère E = l'espace vectoriel des vecteurs du plan, F = la droite vectorielle engendrée par le premier vecteur du repère (O,i,j), et G = la droite vectorielle engendrée par le deuxième vecteur de ce même repère.
que penses-tu de i+j ? ne peux-tu pas montrer que H = ev engendré par (i+j) est lui aussi supplémentaire de F ?
Bonjour 
Soit E un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.
J'avoue n'avoir jamais fait attention à ce détail :
Ça existe un EV dans lequel un SEV n'aurait pas de supplémentaire ? Peut-être dans le cas où le corps de base ne serait pas de caractéristique nulle ?
Je sais que c'est possible de trouver des modules avec des sous-modules n'ayant pas de supplémentaires ...
Bonjour à tous
Oui lafol, en théorie c'est un résultat vu en MPSI.
Pour le th de la base incomplète on a quand même besoin de l'axiome du choix cela dit... chose un peu sibylline au niveau sup.
Le theoreme de la base incomplete dit que non...
Oui, j'avais un poil oublié qu'un K-EV est un K-module libre pour n'importe quel corps.
Et oui la démonstration requiert le lemme de Zorn en dimension infinie.
Cela ne mange pas de pain de l'admettre sans connaître la démonstration.
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