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Niveau maths sup
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unicité du supplémentaire ?

Posté par
solidad01
10-02-19 à 18:56

Bonsoir tout le monde , j'espère que vous allez bien ,
Ma question est la suivante :
Soit E un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit F un sous-espace vectoriel propre de F (c'est-à-dire que F≠{0} et que F≠E). Démontrer que F admet au moins deux supplémentaires distincts.

Si on fixe un supplémentaire G de F dans E , est ce qu'on peut justifier l'existence d'un vecteur de E qui n'appartient ni à F ni à G ?

Posté par
carpediem
re : unicité du supplémentaire ? 10-02-19 à 19:04

salut

ben non !!!

par définition si G et F sont supplémentaires alors tout vecteur  x de E s'écrit de façon unique x = f + g avec f dans F et g dans G ....

Posté par
carpediem
re : unicité du supplémentaire ? 10-02-19 à 19:06

pardon plus précisément !!!

oui si f <> 0 et g <> 0 alors x n'appartient ni à F ni à G

il suffit de faire un dessin dans le plan ...

Posté par
solidad01
re : unicité du supplémentaire ? 10-02-19 à 19:33

j'ai pas trop compris le symbole <> , pouvez vous expliquer s'il vous plaît

Posté par
carpediem
re : unicité du supplémentaire ? 10-02-19 à 19:56

Posté par
solidad01
re : unicité du supplémentaire ? 10-02-19 à 21:10

Et pourquoi c est verifié dans ce cas ?

Posté par
lafol Moderateur
re : unicité du supplémentaire ? 10-02-19 à 23:52

Bonjour
dans le plan de la géométrie ordinaire, avec un repère (O,i,j) comme d'hab au lycée, considère E = l'espace vectoriel des vecteurs du plan, F = la droite vectorielle engendrée par le premier vecteur du repère (O,i,j), et G = la droite vectorielle engendrée par le deuxième vecteur de ce même repère.
que penses-tu de i+j ? ne peux-tu pas montrer que H = ev engendré par (i+j) est lui aussi supplémentaire de F ?

Posté par
jsvdb
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 09:10

Bonjour

Citation :
Soit E un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire.

J'avoue n'avoir jamais fait attention à ce détail :
Ça existe un EV dans lequel un SEV n'aurait pas de supplémentaire ? Peut-être dans le cas où le corps de base ne serait pas de caractéristique nulle ?
Je sais que c'est possible de trouver des modules avec des sous-modules n'ayant pas de supplémentaires ...

Posté par
lionel52
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 09:45

Le theoreme de la base incomplete dit que non...

Posté par
jsvdb
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 10:31

C'est bien ce qu'il me semblait ...

Posté par
lafol Moderateur
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 16:14

Il n'est pas précisé au départ si on est en dimension finie...

Posté par
lionel52
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 16:46

Ca change rien le theoreme est valable dans les 2 cas!

Posté par
lafol Moderateur
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 16:48

je ne suis pas certaine qu'il soit connu en première année dans le cadre de la dimension infinie ?

Posté par
Jezebeth
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 18:38

Bonjour à tous

Oui lafol, en théorie c'est un résultat vu en MPSI.

Pour le th de la base incomplète on a quand même besoin de l'axiome du choix cela dit... chose un peu sibylline au niveau sup.  

Posté par
jsvdb
re : unicité du supplémentaire ? 11-02-19 à 19:34

lionel52 @ 11-02-2019 à 09:45

Le theoreme de la base incomplete dit que non...

Oui, j'avais un poil oublié qu'un K-EV est un K-module libre pour n'importe quel corps.
Et oui la démonstration requiert le lemme de Zorn en dimension infinie.
Cela ne mange pas de pain de l'admettre sans connaître la démonstration.

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