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Unicité-puissance d'un nombre premier

Posté par
fabo34 08-08-25 à 16:37

Bonjour à tous.
Je vous propose d'essayer de montrer la proposition suivante:

Soient p un nombre premier et (a,b) 2 entiers copremiers de parité différente tels que  p=a+b.
Alors la décomposition  p^n=a\cdot u^2+b \cdot v^2, ~ u\wedge v=1 est unique quelque soit la puissance n impair.

On a déjà vu ensemble qu'une telle décomposition est toujours possible. Mais pour certains nombres composés,  elle n'est pas toujours unique. Exemples:

15^3 = 11 . 1^2 + 4. 29 ^2  =11 .17^2 + 4. 7^2

105^3 =61. 71^2 +44.139^2   = 61.137^2 +44. 17^2

Ce que j'ai trouvé  récemment est qu'elle était unique pour les nombres premiers. Et cette proposition est vraie; quelqu'un m'en a soumis une démonstration, mais ça part très loin (théorie de Galois, ...). Si toutefois vous en aviez une plus abordable. Une précédente fois, jandri avait trouvé une pépite pour prouver l'unicité dans le théorème des 2 carrés

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 13-08-25 à 16:02

Bonjour,
merci de poser cette question très intéressante. C'est un résultat remarquable :

si p est un nombre premier impair alors pour tout couple (a,b) d'entiers strictement positifs tels que p=a+b et pour tout entier impair n il existe un unique couple (u,v) d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que p^n=au^2+bv^2

J'ai commencé par démontrer l'existence (puisque l'unicité semble plus difficile) et j'ai eu du mal à trouver une formule générale ! C'est seulement après l'avoir trouvée que cela m'a rappelé un résultat que fabo34 nous avait proposé il y a 3 ans (je l'avais complétement oublié !)
Je donne un lien pour ceux qui auraient oublié comme moi :

Je me suis ensuite attaqué à l'unicité. Cela m'a rappelé un problème d'unicité pour l'équation 2^n=7x^2+y^2 avec x,y impairs. J'avais trouvé une démonstration élémentaire et par chance j'ai réussi à l'adapter au problème de fabo34. C'est astucieux mais du niveau terminale.

On suppose p^n=au^2+bv^2=ax^2+by^2 avec u,v premiers entre eux ainsi que x,y.
En combinant les égalités on obtient p^n(y^2-v^2)=a(u^2y^2-v^2x^2) donc p^n divise (uy-vx)(uy+vx).

On montre assez facilement que p ne peut pas diviser simultanément uy-vx et uy+vx et on en déduit que p^n divise uy-\varepsilon vx avec \varepsilon=\pm1.

Pour terminer on écrit, en multipliant les deux expressions de p^n : p^{2n}=(aux+\varepsilon bvy)^2+ab(uy-\varepsilon vx)^2.

On en déduit uy=\varepsilon vx puis u=x et v=y.

Posté par
fabo34re : Unicité-puissance d'un nombre premier 14-08-25 à 10:08

Bravo jandri.

C'est incroyable. Je ne sais pas si tu as vu la démonstration qui a été donné sur "maths exchange", mais c'est vraiment génial ce que tu as trouvé. Je te laisse y aller pour entrer ta version.

C'est cette relation (au^2+bv^2)(ax^2+by^2)=(aux\pm bvy)^2+ab(uy\mp vx)^2 que je cherchais en vain, qui ressemble à la relation utilisée pour les 2 carrés  (u^2+v^2)(x^2+y^2)=(ux\pm vy)^2+(uy\mp vx)^2 , qui en fait est un cas particulier avec a=b=1

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 15-08-25 à 17:41

Bonjour,

j'ai écrit ma démonstration sur Math Stack Exchange à la suite de la réponse (savante) qui avait déjà été donnée.

Posté par
fabo34re : Unicité-puissance d'un nombre premier 15-08-25 à 19:06

Bravo. Je viens de la voir. C'est un site dédié presque exclusivement à la recherche mathématique. L'activité est énorme (environ 50 questions par heure à chaque fois que je recharge le rss).

Ta démonstration est d'autant plus remarquable qu'elle n'utilise pas le fait que n soit impair. Du coup je me suis demandé ce qu'il se passait pour n pair. Et cette fois l'informatique me pousse à dire que pour p=a+b premier, il n'existe pas de  décomposition avec (u,v) copremiers. Ca me retroune des solutions uniquement pour des nombres composés.

\begin{array}{lll} \\ 15 ^ 2 = 1 \cdot ( 1 )^2 &+ 14 \cdot ( 2\times2 )^2 \\ \\ 15 ^ 4 = 1 \cdot ( 223 )^2 &+ 14 \cdot ( 2\times2\times2 )^2 \\ \\ 15 ^ 6 = 1 \cdot ( 11\times61 )^2 &+ 14 \cdot ( 2\times2\times13\times17 )^2 \\ \end{array}

Des fois plusieurs solutions:

\begin{array}{lllll} \\ 21 ^ 2 = 1 \cdot ( 11 )^2 &+ 20 \cdot ( 2\times2 )^2 &=  17 \cdot ( 5 )^2 &+ 4 \cdot ( 2 )^2\\ \\ 21 ^ 6 = 1 \cdot ( 11\times839 )^2 &+ 20 \cdot ( 2\times2\times43 )^2  &= 17 \cdot ( 5\times13\times29 )^2 &+ 4 \cdot ( 2\times1259 )^2 \\ \end{array}

Peut-être un nouveau résultat? Cette fois l'inexistence sur les puissances pair, alors qu'il y a unicité sur les puissances impairs. ? Une idée du pourquoi?

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 15-08-25 à 23:14

@fabo34,

ta dernière proposition n'est pas exacte.

Dans le cas a=1 et b=p-1 ces couples (u,v) existent :

p^2=(p-2)^2+(p-1)2^2.

p^4=(p^2-8p+8)^2+(p-1)(4p-8)^2.

En revanche il semblerait qu'ils n'existent pas quand a\neq1 et b\neq1.

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 16-08-25 à 11:53

Je complète ma réponse précédente.

Si p est un nombre premier impair alors pour tout entier naturel non nul n il existe un unique couple (u,v) d'entiers strictement positifs premiers entre eux tels que p^n=u^2+(p-1)v^2.

Ils sont donnés par les formules u=|\sum_{k\geqslant0}\binom{n}{2k}(1-p)^k| et v=|\sum_{k\geqslant0}\binom{n}{2k+1}(1-p)^k|

Je n'ai pas encore démontré que p^{2n}=au^2+bv^2 est impossible quand p=a+b avec a\geqslant2 et b\geqslant2 (je l'ai seulement démontré pour n=1).

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 16-08-25 à 15:24

En fait ce n'est pas très difficile.

On montre en deux étapes que si p^{2n}=au^2+bv^2 alors on a aussi p^{2n-2}=au'^2+bv'^2.

On réitérant on arrive à 1=ax^2+by^2 d'où a=x=1 et y=0 ou bien b=y=1 et x=0

Posté par
fabo34re : Unicité-puissance d'un nombre premier 16-08-25 à 16:22

J'étais en train de modifier mon script. Il ne gérait pas bien le cas "pair". En gros il ignorait la première solution en pensant que c'était celle de la formule des carrés (valable que pour le cas impair).

Et c'était pour te dire que j'étais d'accord avec ta conjecture.
Et là fabuleux! Tu sors les formules et la preuve !!!
Veux-tu que je rentre la question dans mathstackexchange afin que tu gagnes des points?

Pour la preuve, ça ressemble à une "descente"!? Là j'entrevois  p^{2n}=au^2+bv^2=p^{2n-2}p^2 . Utilises-tu le fait que tu as montré le cas n=1, soit le p^2

Eventuellement peux-tu détailler? Ca doit sûrement être encore très astucieux !

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 16-08-25 à 21:21

C'est une descente : on montre que s'il existe (u,v) tel que p^{2n}=au^2+bv^2 alors il existe (u',v') tel que p^{2n-2}=au'^2+bv'^2

On n'a pas besoin du cas n=1 puisqu'on peut descendre jusqu'à n=0 et conclure que a=1 ou b=1.

Le passage de 2n à 2n-2 se fait en deux étapes. On peut supposer que p ne divise pas u (sinon c'est fait).

On montre d'abord que u^2\equiv v^2\pmod p d'où v=\varepsilon u+pw. On en déduit p^{2n-1}=u^2+2\varepsilon buw+pbw^2.

On en déduit que p divise u+2\varepsilon bw d'où u+2\varepsilon bw=pt

En reportant dans l'égalité et en simplifiant par p on obtient p^{2n-2}=at^2+b(t-\varepsilon w)^2

Posté par
fabo34re : Unicité-puissance d'un nombre premier 17-08-25 à 17:32

Encore une fois bravo.
Merci pour ta patience. Je bloque encore sur certains points.

Déjà le fait que tu arrives à faire disparaître les (a,b). On a sûr  au^2 \equiv -bv^2 \pmod p. Mais je pense qu'il me manque de la connaissance pour arriver à u^2 \equiv  v^2 \pmod p

Ensuite ok pour p ^{2n-1} et p \mid u+2\varepsilon bw .

Par contre pour la fin, pour refaire réapparaître le (a) , je n'y arrive pas depuis p ^{2n-1}, donc je repars de la 1ère formule  p^{2n}=au^2+bv^2. Mais je m'enlise avec  u=pt-2\varepsilon bw et v=\varepsilon b u+pw. Comment arrives-tu à récupérer ce at^2 ?  

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 17-08-25 à 17:50

Je ne détaille pas tous mes calculs pour que le lecteur ait quand-même un peu de travail

Au début il suffit d'écrire p^{2n}=au^2+(p-a)v^2 pour en déduire u^2 \equiv v^2 \pmod p (p ne divise pas a)

A la fin j'écris p^{2n-1}=(u+\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2=(pt-\varepsilon bw)^2-b^2w^2+pbw^2=p^2t^2-2\varepsilon pbwt+pbw^2 puis je simplifie par p et remplace p par a+b.

Posté par
fabo34re : Unicité-puissance d'un nombre premier 17-08-25 à 19:46

Depuis le début j'ai omis p=a+b ... des fois je me donnerais des baffes.
Donc c'était évident,  a\equiv -b \pmod p .
Par contre, pour la suite, sans regret, c'était inatteignable. Là ça touche au génie!

Ca mérite largement une question dans maths exchange. Que tu te fasse connaître! Ca y est, c'est entré

Posté par
jandri Correcteurre : Unicité-puissance d'un nombre premier 18-08-25 à 10:48

J'ai regardé la question dans maths exchange, elle n'est pas tout-à-fait bien formulée car il y a aussi le cas a=p-1 et b=1. On peut aussi écrire à la place a=1 ou b=1.

Par ailleurs on n'a pas besoin de supposer "copremiers de parité différente" pour a et b puisque si p=a+b est premier impair c'est automatiquement vérifié à condition que a et b soient strictements positifs ("positive" en anglais).

Posté par
fabo34re : Unicité-puissance d'un nombre premier 18-08-25 à 17:22

Merci Jandri pour ta vigilance. Je viens d'y reporter tes remarques. Et changé le titre de "Uniqueness" en "Existence". Je conçois que toutes ces imprecisions ça ne font pas très bonne impression pour le public de ce site. Bon, depuis le temps je pense qu'ils ont compris que j'avais un petit niveau en math ET en anglais Certains sont sympas et m'indiquent dans les commentaires de corriger certaines tournures. Puis ils effacent quand c'est corrigé.

Depuis quelques semaines j'avais la tête dans le guidon pour trouver de nouveaux résultats. Là je me rends compte que je suis un peu fatigué et qu'il me faut quelques jours "off".

Encore merci à toi. Et n'hésite pas à répondre à la question. Je pense qu'ils vont être épatés!


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