* en ayant choisi un nouvel

Bonsoir,

une méthode consiste à contracter le domaine de définition de par la fonction tangente : je m'explique.

Définissons la fonction comme telle :

si , on pose ;

.

Qu'en est-il de la continuité de sur le segment ?

Lire : si , on pose .

Sympa comme astuce. Oui; g est clairement continue sur ( par composition ) et , pareil de l'autre côté. Donc g est uniformément continue sur

(Très sympa en effet, et ça marche aussi si a des limites finies et en et ) Voilà, n'oublie pas d'indiquer le théorème que tu utilises pour obtenir la continuité uniforme.

Ensuite, il te reste à exprimer en fonction de et c'est fini.

Pour la continuité uniforme c'est le théorème de Heine. Ensuite , . Comme la fonction arctan est 1-lipschitizienne, elle est uniformément continue. Par composition, l'est aussi. C'est bien cela ?

Je pense qu'il faut aussi que je précise que la fonction tangente réalise une bijection de sur , non ?

Tout bon ! Effectivement il vaut mieux préciser la bijection réalisée par tangente. De manière fondamentale, on a utilisé ici que la droite réelle achevée (ie ) est compacte, et donc on qu'on peut appliquer le théorème de Heine dessus.

Super, merci beaucoup de ton aide et de cet astuce ! Donc en rectifiant c'est . Je vais continuer la rédaction classique de mon côté.

Non non du tout c'est bien y dans R ! En fait l'histoire de la droite réelle achevée c'est l'explication sous-jacente du résultat et ça utilise quelques notions relativement avancées en topologie, je l'ai juste mentionné pour ta propre culture, j'aurais très bien pu éviter d'en parler

Ah d'accord! Donc juste un détail pour la rédaction. Après avoir conclut que g était UC sur le segment , ma rédaction est-elle correcte :
Pour , on a f(y)=g(arctan(y)). Arctan est UC sur , g est UC sur ,car UC sur le segment , puis par composition, on a le résultat voulu. Est-ce correct ? Manque-t-il des choses ?

C'est parfait