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Union de sev
Bonjour,
j'aimerais savoir comment on demontre que si une union de n sev V1,V2,...,Vn est un sev alors il y en a un qui contient les autres.
Bonjour,
Il a déjà été répondu à cette question
Traitons le cas de deux sev
Supposons E1 et E2 sev avec sev
et x1 dans E1-E2 et x2 dans E2-E1
alors
comme sev
x1+x2 appartient à
donc x1+x2 ou
Supposons le premier cas alors x1+x2-x1
contradiction x2
la contradiction montre bien que l'on a
ou l'inclusion inverse.
Bonjour,
Il faut quand meme bien preciser sur quel corps on travaille...
Par exemple sur F2.
F2² est la réunion de 3 sev donc aucun ne contient aucun.
F2 c'est le corps a 2 elements. En d'autre terme Z/2Z.
La demo est faite pour seulement 2 espaces...elle est correcte.
Il en faut au moins 3 pour avoir une réunion d'espaces qui soit un espaces vectoriel
Ah ben effectivement on en parle pas trop en prepa, les Fp restent des corps "réservé aux algébristes" a l'exception des que les informaticiens utilisent beaucoup.
Bonjour 
On suppose que le corps de base K est infini, (
ou 
par exemple) sinon c'est faux, comme l'a noté Rodrigo.
Raisonnons par l'absurde.
On considère une famille finie Vi de sous espaces stricts de E dont l'union est égale à E.
On peut supposer cette famille minimale, c'est-à-dire que si l'on retire un des sous-espaces, l'union n'est plus égale à E.
On a nécessairement n 
2.
Choisissons alors x1 dans V1 - 
Vi, (i
1) et x2 dans V2 - Vi, (i2)
C'est possible à cause du caractère minimal de la famille.
Soit D = {k.x1 + (1 - k).x2, k
K}. Comme D est infini et que la famille de sous-espaces est finie, on peut trouver deux éléments distincts de D qui appartiennent au même Vj. Ceci implique que D 
Vj. Donc x1 et x2 appartiennent à Vj. Mais alors Vj = V1 = V2, contrairement au caractère minimal de la famille.
Cordialement
Frenicle
Soit Hn:
si V1 u V2 u ... u Vn est un sev alors il existe i tq pour tout j Vj c Vi
H2 est vraie on suppose Hn-1
soit V1 u V2 u ... u Vn-1 c Vn soit Vn c V1 u V2 u ... u Vn-1 ce qui entraine Hn
je ne vois pas où est l'erreur...
V2 Oui cest pas parce que l'union de n est un sev que lunion de n-1 en est un aussi on fait comment pour montrer le resultat alors ?
Sincérement j'avais survolé le message mais en fait c'est parfait merci beaucoup, super demo on est censé savoir la trouver tout seul ?...
On peut préciser le résultat : si un ev E est union de p sous-espaces stricts c'est que cardinal de K < p .(et contrairement à ce qu'a dit Frenicle ce n'est pas Rodrigo mais moi qui l'ai signalé d'abord 
).
Maintenant je vous laisse le faire dans l'espace affine....
d'ailleurs tout ça a déjà été traité ici (faire une recherche je crois que schumi1 avait rédigé une solution complète )
On a pas besoin d'avoir le cardinal du corps infini mais juste strictement supérieur au nombre de sous -espaces pour la demo frenicle non ?
Je n'avais traité que le cas des sev: 
Pour la culture : espace vectoriel et affines mais selon les dire de lolo, le cas affine se traitait de manière similaire.
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