Bonjour à tous,
Je souhaiterais svp une explication sur un point que je trouve flou
Théorème: Soit f une fonction continue définie sur un intervalle [a;b] . La fonction F définie sur [a;b] telle que est dérivable sur [a;b] et à pour dérivée f. Plus précisement F est l'unique primitive de f qui s'annule en a.
Alors pour la 1ère partie du théorème , pas de souci, j'évalue la fonction en a, l'intégrale est bornée de a jusqu'à a , et donc F(a)=0
Le mot unique m'échappe dans la seconde partie.
On sait que si F est une primitive de f, alors est également une primitive. Mais elle ne s'annule pas en a!! Est -ce a cause de la valeur de la constante?
Sur un exemple
f(t)=t²+1 , je veux évaluer l'intégrale en 0
or G(0)=0+k , d'où si k est différent de 0 , la primitive ne s'annule pas et si k=0, alors G=F.
J'espère ne pas avoir été confus dans ma demande mais l'unicité me semble pas claire
Merci!
Bonjour !
Attention : tout ceci concerne un intervalle de réels (dans ton cas, le segment .
Il y a toujours une unique primitive de nulle en !
Supposons que sont des primitives nulles en . Alors, la fonction est nulle en et a une dérivée nulle, donc constante sur l'intervalle. (Ce dernier résultat est souvent admis mais si tu as le théorème de Rolle au programme, c'est facile de le démontrer)
salut
"être nulle en la valeur a" est un cas particulier de "prenant la valeur b en a"
si F est une primitive de f alors les primitives de f sont les fonctions G = F + k où k est une constante
et alors G(a) = F(a) + k
donc G(a) = F(a) <=> k = 0 <=> G = F
donc il n'existe qu'une unique primitive d'une fonction f prenant une certaine valeur b en un point a
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