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Unique primitive qui s'annule en un point

Posté par
kaboum
18-06-18 à 11:30

Bonjour à tous,

Je souhaiterais svp une explication sur un point que je trouve flou

Théorème: Soit f une fonction continue définie sur un intervalle [a;b] . La fonction F définie sur [a;b] telle que F: x \rightarrow \int_{a}^{x}{f(t)dt} est dérivable sur [a;b] et à pour dérivée f. Plus précisement F est l'unique primitive de f qui s'annule en a.

Alors pour la 1ère partie du théorème , pas de souci, j'évalue la fonction en a, l'intégrale est bornée de a jusqu'à a , et donc F(a)=0

Le mot unique m'échappe dans la seconde partie.
On sait que si F est une primitive de f, alors  G: x \rightarrow  F+k est également une primitive. Mais elle  ne s'annule pas en a!!  Est -ce a cause de la valeur de la constante?

Sur un exemple
f(t)=t²+1 , je veux évaluer l'intégrale en 0
G(x)=\int_{0}^{x}{t²+1} dt+k=[\frac{t^3}{3}+t ]^x_0+k

or G(0)=0+k , d'où si k est différent de 0 , la primitive ne s'annule pas et si k=0, alors G=F.

J'espère ne pas avoir été confus dans ma demande mais l'unicité me semble pas claire

Merci!

Posté par
luzak
re : Unique primitive qui s'annule en un point 18-06-18 à 11:39

Bonjour !
Attention : tout ceci concerne un intervalle de réels (dans ton cas, le segment [a,b].

Il y a toujours une unique primitive de f nulle en a !

Supposons que F,G sont des primitives nulles en a. Alors, la fonction F-G est nulle en a et a une dérivée nulle, donc constante sur l'intervalle. (Ce dernier résultat est souvent admis mais si tu as le théorème de Rolle au programme, c'est facile de le démontrer)

Posté par
kaboum
re : Unique primitive qui s'annule en un point 18-06-18 à 11:53

Bonjour luzak merci de ta réponse;

Donc l'unicité vient bien de la constante=0 c'est bien ça ?

Posté par
luzak
re : Unique primitive qui s'annule en un point 18-06-18 à 13:41

Du moment que les primitives prennent la même valeur en un point, valeur pas nécessairement nulle.

Posté par
kaboum
re : Unique primitive qui s'annule en un point 18-06-18 à 13:50

Je ne comprends pas peux tu me donner un exemple stp ?

Posté par
carpediem
re : Unique primitive qui s'annule en un point 18-06-18 à 20:34

salut

"être nulle en la valeur a" est un cas particulier de "prenant la valeur b en a"

si F est une primitive de f alors les primitives de f sont les fonctions G = F + k où k est une constante

et alors G(a) = F(a) + k

donc G(a) = F(a) <=> k = 0 <=> G = F

donc il n'existe qu'une unique primitive d'une fonction f prenant une certaine valeur b en un point a

Posté par
kaboum
re : Unique primitive qui s'annule en un point 18-06-18 à 23:54

Ha ben c'est une autre maniere d'arriver a la conclusion en effet!

Je te remercie!

Posté par
carpediem
re : Unique primitive qui s'annule en un point 19-06-18 à 19:16

de rien



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