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Niveau Licence Maths 1e ann
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Unique solution équation type ln(x) = 1/ x

Posté par
amanda23maths
27-11-21 à 11:00

Bonjour je suis une étudiante en licence maths 1 ère année.

Je suis bloquer sur un DM :

Soit équation  (a)*ln(R*x) + (b) = x^-1

On sait que a , R et b sont strictement croissante .

La question est :

Q) En déduire que équation admet une unique solution ?

Je sais pas si je dois déplacer le x^-1 pour avoir :
(a) * ln(R*x) + (b) - x^-1 = 0

Posté par
carpediem
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:09

salut

amanda23maths @ 27-11-2021 à 11:00

On sait que a , R et b sont strictement croissante .
sont-ce donc des fonctions ?

Posté par
Ulmiere
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:13

Quelle est la dérivée (là où elle existe) de x\mapsto \ln(Rx) ?
Normalement, ça devrait t'inspirer un petit changement de variable pour résoudre une équation différentielle d'ordre 1

Posté par
amanda23maths
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:17

Bonjour oui ce sont des fonction

Posté par
amanda23maths
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:18

La dérivée de ln(R*x) c'est  : F'(X) : 1/ x

Posté par
carpediem
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:20

alors il serait bien de nous donner un énoncé exact et complet au mot près ...

R peut très bien être croissante et négative ... et si x est positif alors Rx est négatif  ... et si on en prendre le ln ...

Posté par
amanda23maths
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:23

Attendez juste un instant

Posté par
amanda23maths
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:29


Considérons l'équation en x :
a *ln(R*x)+b = x^−1
Les trois nombres a, b et R sont strictement positifs dans l'application qui nous intéresse.

On définit la fonction F par :
F(x) = a ln(Rx)+b − x^−1

Q1 ) Quel est le domaine de définition de F, c'est-à-dire, pour quelles valeurs de x peuton calculer F(x) ?

Q2 ) Exprimer mathématiquement F'(x)

Q3 ) Déduire du résultat précédent que la fonction F est strictement croissante sur son domaine de définition.

Q4) Montrer que limx→0 F(x) = −∞ et que limx→+∞ F(x) = +∞ à partir des limites
usuelles des fonctions ln et x → x^−1 (hyperbole).

Q5 ) En déduire que l'équation  a une unique solution

Posté par
amanda23maths
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:30

Les quatre première question j'ai tous bon mais je bloque a la question 5

Posté par
Ulmiere
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 11:56

Fais un dessin !
Tu as une fonction régulière (continue, dérivable, etc) qui tend vers -\infty en -\infty et vers +\infty en +\infty. Est-ce qu'elle coupe ou pas l'axe des abscisses, graphiquement ?
Tu ne connais pas un célèbre théorème en trois lettres majuscules qui permet de prouver ette assertion ?

Posté par
Ulmiere
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 12:03

Coquille il faut lire "vers -\infty en 0", évidemment

Posté par
amanda23maths
re : Unique solution équation type ln(x) = 1/ x 27-11-21 à 12:04

ok merci je vais essayer pour voir



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